Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 5 + 7 × 7 = 5 + 49 = 54
B = (5 + 7) × 7 = 12 × 7 = 84
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
D = 8 × (13 − 7) est un produit : c'est le produit de 8 par la différence entre 13 et 7.
E = 3 × 5² − 20 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 5 et 20.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 64 = 448 ≤ 454 < 455 = 7 × 65 : le quotient est 64, le reste 454 − 448 = 6.
454 = 7 × 64 + 6, avec 6 < 7.
22 × 99 = 2 178 ≤ 2 198 < 2 200 = 22 × 100 : le quotient est 99, le reste 2 198 − 2 178 = 20.
2 198 = 22 × 99 + 20, avec 20 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 250 = 8 × 31 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 250 = 8 × 32 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 250 = 8 × 30 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 31, reste 2.
Comme 2 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 250 par 31 : quotient 8, reste 2.
3. 65 = 7 × 9 + 2
a) 65 jours font 9 semaines complètes et 2 jours.
Après 9 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 2 jours : vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 65 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 931 | non | oui | non | oui | non |
| 2 404 | oui | non | non | non | non |
| 385 | non | non | oui | non | non |
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 7 520 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
5 931 → 5 + 9 + 3 + 1 = 18 2 404 → 2 + 4 + 0 + 4 = 10 385 → 3 + 8 + 5 = 16
777 → 7 + 7 + 7 = 21 7 520 → 7 + 5 + 2 + 0 = 14
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 6 + □ = 8 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 12
Une seule solution : 264.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 7 est un diviseur de 133. » Vrai. 133 = 7 × 19 : le reste de la division de 133 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 51 − 6 × 7 = 51 − 42 = 9
B = 6 × 3 − 3 × 5 = 18 − 15 = 3
C = (11 + 5) × 2 − 17 = 16 × 2 − 17 = 32 − 17 = 15
D = 2,7 + 3 × 2,5 = 2,7 + 7,5 = 10,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × 4 − (7 − 6) = 6 × 4 − 1 = 24 − 1 = 23
6 + 9 − (9 − 3) = 6 + 9 − 6 = 15 − 6 = 9
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 68 × 25 = 4 × 25 × 68 = 100 × 68 = 6 800
F = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 22 × 99 = 22 × (100 − 1) = 22 × 100 − 22 × 1 = 2 200 − 22 = 2 178
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 11 × 11 = 11² 2 × 2 × 2 = 2³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 58 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 58 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 121 = 11² : carré
145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 8 = 5 × 9 − 8 = 45 − 8 = 37
B = (5 × 3)² − 8 = 15² − 8 = 225 − 8 = 217
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 4 = 3 × 4² − 4 = 3 × 16 − 4 = 48 − 4 = 44
B = (3x)² − 4 = (3 × 4)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 7² = π × 49 = 49π
a) L'aire exacte est 49π m².
49 × 3,14 = 153,86
b) L'aire vaut environ 154 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 7², et non (π × 7)². On élève 7 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 103 et 155. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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