Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 5)² = 8² = 64
B = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 11 + 4 × 4 est une somme : c'est la somme de 11 et du produit de 4 par 4.
D = (5 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 2.
E = (12 + 8) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 12 et 8 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 26 = 234 ≤ 239 < 243 = 9 × 27 : le quotient est 26, le reste 239 − 234 = 5.
239 = 9 × 26 + 5, avec 5 < 9.
18 × 31 = 558 ≤ 572 < 576 = 18 × 32 : le quotient est 31, le reste 572 − 558 = 14.
572 = 18 × 31 + 14, avec 14 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 196 = 13 × 15 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 13. ✔
(b) 196 = 13 × 14 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 196 = 13 × 16 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 15, reste 1.
Comme 1 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 196 par 15 : quotient 13, reste 1.
3. 232 = 7 × 33 + 1
a) 232 jours font 33 semaines complètes et 1 jour.
Après 33 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 1 jour : lundi → mardi.
b) Dans 232 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 835 | non | non | oui | non | non |
| 4 923 | non | oui | non | oui | non |
| 6 570 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 1 874 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
627 → 6 + 2 + 7 = 15 835 → 8 + 3 + 5 = 16 4 923 → 4 + 9 + 2 + 3 = 18
6 570 → 6 + 5 + 7 + 0 = 18 1 874 → 1 + 8 + 7 + 4 = 20
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 9 + □ = 17 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 21
Une seule solution : 894.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 46 est pair mais 46 = 3 × 15 + 1.
« 5 est un diviseur de 91. » Faux. 91 = 5 × 18 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 33 − 14 + 2 = 19 + 2 = 21
B = 9 + 10 ÷ 5 × 2 = 9 + 2 × 2 = 9 + 4 = 13
C = (4 × 4 − 5) ÷ 2 = (16 − 5) ÷ 2 = 11 ÷ 2 = 5,5
D = [9 + 2 × (7 − 4)] ÷ 2 = [9 + 2 × 3] ÷ 2 = [9 + 6] ÷ 2 = 15 ÷ 2 = 7,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (8 − 3 + 6) = 5 × (5 + 6) = 5 × 11 = 55
7 × (7 + 4) + 2 = 7 × 11 + 2 = 77 + 2 = 79
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 37 × 125 = 8 × 125 × 37 = 1 000 × 37 = 37 000
F = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 45 × 99 = 45 × (100 − 1) = 45 × 100 − 45 × 1 = 4 500 − 45 = 4 455
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 2 × 2 × 2 = 2³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« (1 + 2)² = 1² + 2² » Faux. (1 + 2)² = 3² = 9, alors que 1² + 2² = 1 + 4 = 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 81 = 9² : carré
84 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 84 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
106 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 106 < 121 = 11²) 114 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 114 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 10 = 2² + 10 = 4 + 10 = 14 et 7n = 7 × 2 = 14.
14 = 14 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 8 : n² + 10 = 8² + 10 = 64 + 10 = 74 et 7n = 7 × 8 = 56.
74 ≠ 56 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 2 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 9 et 32. » → encore 22 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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