Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
B = (3 + 4)² = 7² = 49
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² − 2 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 2.
D = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
E = 6² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 6 et de 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 96 = 864 ≤ 870 < 873 = 9 × 97 : le quotient est 96, le reste 870 − 864 = 6.
870 = 9 × 96 + 6, avec 6 < 9.
27 × 56 = 1 512 ≤ 1 527 < 1 539 = 27 × 57 : le quotient est 56, le reste 1 527 − 1 512 = 15.
1 527 = 27 × 56 + 15, avec 15 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 128 = 10 × 12 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 128 = 10 × 13 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 128 = 10 × 11 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 12, reste 8.
Comme 8 < 12 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 128 par 12 : quotient 10, reste 8.
3. 54 = 4 × 13 + 2, avec 2 < 4
a) Chaque joueur reçoit 13 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 4 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 245 | non | non | oui | non | non |
| 6 268 | oui | non | non | non | non |
| 5 877 | non | oui | non | oui | non |
| 201 | non | oui | non | non | non |
| 9 880 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
245 → 2 + 4 + 5 = 11 6 268 → 6 + 2 + 6 + 8 = 22 5 877 → 5 + 8 + 7 + 7 = 27
201 → 2 + 0 + 1 = 3 9 880 → 9 + 8 + 8 + 0 = 25
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 3 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 243.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 288, somme des chiffres 18.
« 5 est un diviseur de 140. » Vrai. 140 = 5 × 28 : le reste de la division de 140 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 11 + 2 × 3 = 11 + 6 = 17
B = 40 ÷ 5 × 3 = 8 × 3 = 24
C = (6 × 4 − 6) ÷ 2 = (24 − 6) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9
D = [5 + 9 × (12 − 2)] ÷ 5 = [5 + 9 × 10] ÷ 5 = [5 + 90] ÷ 5 = 95 ÷ 5 = 19
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 3) × 9 × 2 = 8 × 9 × 2 = 72 × 2 = 144
6 × (6 + 3 × 9) = 6 × (6 + 27) = 6 × 33 = 198
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 16 × 72 − 16 × 62 = 16 × (72 − 62) = 16 × 10 = 160
F = 33 × 9 = 33 × (10 − 1) = 33 × 10 − 33 × 1 = 330 − 33 = 297
G = 2 × 90 × 50 = 2 × 50 × 90 = 100 × 90 = 9 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 5 × 5 = 5² 0,4 × 0,4 = 0,4²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (2 + 5)² = 2² + 5² » Faux. (2 + 5)² = 7² = 49, alors que 2² + 5² = 4 + 25 = 29.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 100 = 10² : carré
127 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 127 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 6 = 5 × 16 − 6 = 80 − 6 = 74
B = (5 × 4)² − 6 = 20² − 6 = 400 − 6 = 394
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 3 : x² + 20 = 3² + 20 = 9 + 20 = 29 et 9x = 9 × 3 = 27.
29 ≠ 27 : l'égalité est fausse pour x = 3.
Pour x = 4 : x² + 20 = 4² + 20 = 16 + 20 = 36 et 9x = 9 × 4 = 36.
36 = 36 : l'égalité est vraie pour x = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 4 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 8² = π × 64 = 64π
a) L'aire exacte est 64π m².
64 × 3,14 = 200,96
b) L'aire vaut environ 201 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 8², et non (π × 8)². On élève 8 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 66 et 119. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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