Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (31 − 6) × 5 = 25 × 5 = 125
B = 31 − 6 × 5 = 31 − 30 = 1
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 24 − 2 × 2 est une différence : c'est la différence entre 24 et le produit de 2 par 2.
D = 8 + 4 × 2 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 4 par 2.
E = (6 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 109 = 654 ≤ 659 < 660 = 6 × 110 : le quotient est 109, le reste 659 − 654 = 5.
659 = 6 × 109 + 5, avec 5 < 6.
23 × 80 = 1 840 ≤ 1 854 < 1 863 = 23 × 81 : le quotient est 80, le reste 1 854 − 1 840 = 14.
1 854 = 23 × 80 + 14, avec 14 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 124 = 6 × 19 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 124 = 6 × 20 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 124 = 6 × 21 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 20, reste 4.
Comme 4 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 124 par 20 : quotient 6, reste 4.
3. 169 = 12 × 14 + 1, avec 1 < 12
a) Elle remplit 14 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 805 | non | non | oui | non | non |
| 7 410 | oui | oui | oui | non | oui |
| 6 194 | oui | non | non | non | non |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 5 841 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
805 → 8 + 0 + 5 = 13 7 410 → 7 + 4 + 1 + 0 = 12 6 194 → 6 + 1 + 9 + 4 = 20
147 → 1 + 4 + 7 = 12 5 841 → 5 + 8 + 4 + 1 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 3 + 0 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3 ; □ = 6 : 9
2 solutions : 300, 306.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 70 est un multiple de 6. » Faux. 70 = 6 × 11 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 7 × 6 = 22 + 42 = 64
B = 20 + 30 ÷ 6 × 3 = 20 + 5 × 3 = 20 + 15 = 35
C = 54 − 2 × (11 − 3) = 54 − 2 × 8 = 54 − 16 = 38
D = 9,7 + 2 × 1,5 = 9,7 + 3 = 12,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (5 + 6 + 8) = 2 × (11 + 8) = 2 × 19 = 38
(8 + 5) × 8 − 9 = 13 × 8 − 9 = 104 − 9 = 95
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 56 × 5 = 2 × 5 × 56 = 10 × 56 = 560
F = 34 × 56 + 34 × 44 = 34 × (56 + 44) = 34 × 100 = 3 400
G = 14 × 11 = 14 × (10 + 1) = 14 × 10 + 14 × 1 = 140 + 14 = 154
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³ 10 × 10 = 10²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²) 25 = 5² : carré
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 3 = 5 × 36 − 3 = 180 − 3 = 177
B = (5 × 6)² − 3 = 30² − 3 = 900 − 3 = 897
C = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
D = (5 + 6)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : 2n³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 128 :
11² = 121 ≤ 128 et 12² = 144 > 128.
a) Elle mettra 11 dalles sur chaque côté.
128 − 121 = 7
b) Il lui restera 7 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 10 et 60. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16, 25, 49.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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