Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 4) × 7 = 10 × 7 = 70
B = 6 + 4 × 7 = 6 + 28 = 34
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × (15 − 12) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 15 et 12.
D = (15 + 20) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 15 et 20 par 7.
E = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 131 = 524 ≤ 526 < 528 = 4 × 132 : le quotient est 131, le reste 526 − 524 = 2.
526 = 4 × 131 + 2, avec 2 < 4.
21 × 96 = 2 016 ≤ 2 022 < 2 037 = 21 × 97 : le quotient est 96, le reste 2 022 − 2 016 = 6.
2 022 = 21 × 96 + 6, avec 6 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 109 = 10 × 11 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 109 = 10 × 10 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 109 = 10 × 9 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 10, reste 9.
Comme 9 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 109 par 10 : quotient 10, reste 9.
3. 209 = 7 × 29 + 6
a) 209 jours font 29 semaines complètes et 6 jours.
Après 29 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 6 jours : lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 209 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 017 | non | oui | non | oui | non |
| 575 | non | non | oui | non | non |
| 231 | non | oui | non | non | non |
| 8 140 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 432 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
1 017 → 1 + 0 + 1 + 7 = 9 575 → 5 + 7 + 5 = 17 231 → 2 + 3 + 1 = 6
8 140 → 8 + 1 + 4 + 0 = 13 7 432 → 7 + 4 + 3 + 2 = 16
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 6 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 360.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 164 est un multiple de 9. » Faux. 164 = 9 × 18 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 57 − 15 + 15 = 42 + 15 = 57
B = 3 + 45 ÷ 9 × 4 = 3 + 5 × 4 = 3 + 20 = 23
C = (4 × 5 − 9) ÷ 4 = (20 − 9) ÷ 4 = 11 ÷ 4 = 2,75
D = 5 × [37 − (9 + 8)] = 5 × [37 − 17] = 5 × 20 = 100
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × 9 − (2 + 6) = 2 × 9 − 8 = 18 − 8 = 10
(6 + 7) × 2 − 5 = 13 × 2 − 5 = 26 − 5 = 21
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 65 + 7,8 + 35 = 65 + 35 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 17 × 101 = 17 × (100 + 1) = 17 × 100 + 17 × 1 = 1 700 + 17 = 1 717
G = 19 × 56 + 19 × 44 = 19 × (56 + 44) = 19 × 100 = 1 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 × 3 = 3³ 10 × 10 = 10²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
28 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 28 < 36 = 6²) 49 = 7² : carré
72 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 72 < 81 = 9²) 147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 9 = 4 × 36 − 9 = 144 − 9 = 135
B = (4 × 6)² − 9 = 24² − 9 = 576 − 9 = 567
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 2 = 3 × 3² − 2 = 3 × 9 − 2 = 27 − 2 = 25
B = (3x)² − 2 = (3 × 3)² − 2 = 9² − 2 = 81 − 2 = 79
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
5 × 2 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 26. » → encore 24 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 4, 16.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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