Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 48 + 24 ÷ 6 = 48 + 4 = 52
B = (48 + 24) ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 8² est un produit : c'est le double du carré de 8.
D = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
E = 4 × 5² − 20 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 5 et 20.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 137 = 685 ≤ 688 < 690 = 5 × 138 : le quotient est 137, le reste 688 − 685 = 3.
688 = 5 × 137 + 3, avec 3 < 5.
25 × 73 = 1 825 ≤ 1 828 < 1 850 = 25 × 74 : le quotient est 73, le reste 1 828 − 1 825 = 3.
1 828 = 25 × 73 + 3, avec 3 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 356 = 12 × 28 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 356 = 12 × 30 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 356 = 12 × 29 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 29, reste 8.
Comme 8 < 29 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 356 par 29 : quotient 12, reste 8.
3. 108 = 5 × 21 + 3, avec 3 < 5
a) Chaque joueur reçoit 21 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 385 | non | non | oui | non | non |
| 7 612 | oui | non | non | non | non |
| 1 920 | oui | oui | oui | non | oui |
| 597 | non | oui | non | non | non |
| 7 137 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
385 → 3 + 8 + 5 = 16 7 612 → 7 + 6 + 1 + 2 = 16 1 920 → 1 + 9 + 2 + 0 = 12
597 → 5 + 9 + 7 = 21 7 137 → 7 + 1 + 3 + 7 = 18
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 3 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 6 ; □ = 4 : 9 ; □ = 7 : 12
3 solutions : 213, 243, 273.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 6 est un diviseur de 138. » Vrai. 138 = 6 × 23 : le reste de la division de 138 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 20 − 15 + 9 = 5 + 9 = 14
B = 18 ÷ 2 × 4 = 9 × 4 = 36
C = (9 + 7) × 6 − 9 = 16 × 6 − 9 = 96 − 9 = 87
D = 3 × [24 − (4 + 2)] = 3 × [24 − 6] = 3 × 18 = 54
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + 9 − (6 − 3) = 8 + 9 − 3 = 17 − 3 = 14
6 × (6 × 3 − 4) = 6 × (18 − 4) = 6 × 14 = 84
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 19 + 12,6 + 81 = 19 + 81 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 25 × 99 = 25 × (100 − 1) = 25 × 100 − 25 × 1 = 2 500 − 25 = 2 475
G = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 6 × 6 × 6 = 6³ 11 × 11 = 11²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
20 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 20 < 25 = 5²) 41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 69 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 69 < 81 = 9²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 2 = 4 × 4 − 2 = 16 − 2 = 14
B = (4 × 2)² − 2 = 8² − 2 = 64 − 2 = 62
C = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
D = (5 + 2)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 5 = 1² + 5 = 1 + 5 = 6 et 6n = 6 × 1 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Pour n = 3 : n² + 5 = 3² + 5 = 9 + 5 = 14 et 6n = 6 × 3 = 18.
14 ≠ 18 : l'égalité est fausse pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 1 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 81 : 9 × 9 = 81, c'est-à-dire 9² = 81.
a) Le côté mesure 9 m.
4 × 9 = 36
b) Le périmètre est de 36 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 43 et 78. » → encore 34 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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