Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (24 − 6) × 2 = 18 × 2 = 36
B = 24 − 6 × 2 = 24 − 12 = 12
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 30 − 3 × 5 est une différence : c'est la différence entre 30 et le produit de 3 par 5.
D = 4 + 6 × 8 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 6 par 8.
E = (4 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 90 = 540 ≤ 544 < 546 = 6 × 91 : le quotient est 90, le reste 544 − 540 = 4.
544 = 6 × 90 + 4, avec 4 < 6.
29 × 67 = 1 943 ≤ 1 959 < 1 972 = 29 × 68 : le quotient est 67, le reste 1 959 − 1 943 = 16.
1 959 = 29 × 67 + 16, avec 16 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 244 = 10 × 25 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 244 = 10 × 24 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 244 = 10 × 23 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 24, reste 4.
Comme 4 < 24 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 244 par 24 : quotient 10, reste 4.
3. 189 = 15 × 12 + 9
En 12 soirs, elle lit 180 pages ; il lui en reste encore 9.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 9 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 625 | non | non | oui | non | non |
| 8 310 | oui | oui | oui | non | oui |
| 2 961 | non | oui | non | oui | non |
| 4 322 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
471 → 4 + 7 + 1 = 12 625 → 6 + 2 + 5 = 13 8 310 → 8 + 3 + 1 + 0 = 12
2 961 → 2 + 9 + 6 + 1 = 18 4 322 → 4 + 3 + 2 + 2 = 11
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 6 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 8 : 21
2 solutions : 762, 768.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 5 est un diviseur de 76. » Faux. 76 = 5 × 15 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 10 + 2 × 5 = 10 + 10 = 20
B = 18 + 36 ÷ 6 × 2 = 18 + 6 × 2 = 18 + 12 = 30
C = 61 − 3 × (20 − 6) = 61 − 3 × 14 = 61 − 42 = 19
D = 4,7 + 6 × 1,2 = 4,7 + 7,2 = 11,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (6 + 8 − 6) = 3 × (14 − 6) = 3 × 8 = 24
4 + 8 − (2 − 2) = 4 + 8 − 0 = 12 − 0 = 12
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 18 × 9 = 18 × (10 − 1) = 18 × 10 − 18 × 1 = 180 − 18 = 162
F = 27 × 89 + 27 × 11 = 27 × (89 + 11) = 27 × 100 = 2 700
G = 8 × 13 × 125 = 8 × 125 × 13 = 1 000 × 13 = 13 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 8 × 8 = 8² 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 × 3 = 3³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (2 + 3)² = 2² + 3² » Faux. (2 + 3)² = 5² = 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2 × 6² = 12² » Faux. 2 × 6² = 2 × 36 = 72, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
96 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 96 < 100 = 10²) 112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 7 = 2 × 36 − 7 = 72 − 7 = 65
B = (2 × 6)² − 7 = 12² − 7 = 144 − 7 = 137
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 6 = 3 × 4² − 6 = 3 × 16 − 6 = 48 − 6 = 42
B = (3a)² − 6 = (3 × 4)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 52 et 83. » → encore 30 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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