Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 15 + 9 × 8 = 15 + 72 = 87
B = (15 + 9) × 8 = 24 × 8 = 192
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 3² est un produit : c'est le double du carré de 3.
D = 26 − 3 × 7 est une différence : c'est la différence entre 26 et le produit de 3 par 7.
E = 5² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 11 = 99 ≤ 105 < 108 = 9 × 12 : le quotient est 11, le reste 105 − 99 = 6.
105 = 9 × 11 + 6, avec 6 < 9.
19 × 38 = 722 ≤ 733 < 741 = 19 × 39 : le quotient est 38, le reste 733 − 722 = 11.
733 = 19 × 38 + 11, avec 11 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 212 = 15 × 14 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 212 = 15 × 15 − 13 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 212 = 15 × 13 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 14, reste 2.
Comme 2 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 212 par 14 : quotient 15, reste 2.
3. 103 = 12 × 8 + 7, avec 7 < 12
a) Elle remplit 8 boîtes pleines.
b) Il reste 7 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 112 | oui | non | non | non | non |
| 6 100 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 621 | non | oui | non | oui | non |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 205 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 112 → 9 + 1 + 1 + 2 = 13 6 100 → 6 + 1 + 0 + 0 = 7 9 621 → 9 + 6 + 2 + 1 = 18
867 → 8 + 6 + 7 = 21 205 → 2 + 0 + 5 = 7
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 1 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 510.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 3 est un diviseur de 50. » Faux. 50 = 3 × 16 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 33 − 11 + 14 = 22 + 14 = 36
B = 6 × 9 − 2 × 2 = 54 − 4 = 50
C = (8 × 9 − 2) ÷ 2 = (72 − 2) ÷ 2 = 70 ÷ 2 = 35
D = 5 × [24 − (9 + 3)] = 5 × [24 − 12] = 5 × 12 = 60
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 6 + 5) × 2 = (15 + 5) × 2 = 20 × 2 = 40
8 − (3 + 2 × 2) = 8 − (3 + 4) = 8 − 7 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 99 = 42 × (100 − 1) = 42 × 100 − 42 × 1 = 4 200 − 42 = 4 158
F = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 2 × 60 × 50 = 2 × 50 × 60 = 100 × 60 = 6 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 9 × 9 = 9² 2,5 × 2,5 = 2,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 36 = 6² : carré
46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²) 50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 9 = 2 × 25 − 9 = 50 − 9 = 41
B = (2 × 5)² − 9 = 10² − 9 = 100 − 9 = 91
C = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
D = (5 + 2)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 5 : 2x³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour x = 10 : 2x³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
4 × 2 = 8
a) Il faut 8 carreaux le long d'un côté.
8 rangées de 8 carreaux : 8² = 8 × 8 = 64
b) Il faut 64 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 97 et 139. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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