Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (32 + 36) ÷ 4 = 68 ÷ 4 = 17
B = 32 + 36 ÷ 4 = 32 + 9 = 41
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6² − 28 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 28.
D = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
E = (11 + 4) × 5 est un produit : c'est le produit de la somme de 11 et 4 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 224 = 896 ≤ 898 < 900 = 4 × 225 : le quotient est 224, le reste 898 − 896 = 2.
898 = 4 × 224 + 2, avec 2 < 4.
19 × 42 = 798 ≤ 809 < 817 = 19 × 43 : le quotient est 42, le reste 809 − 798 = 11.
809 = 19 × 42 + 11, avec 11 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 295 = 13 × 21 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 295 = 13 × 23 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 295 = 13 × 22 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 22, reste 9.
Comme 9 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 295 par 22 : quotient 13, reste 9.
3. 126 = 12 × 10 + 6, avec 6 < 12
a) Elle remplit 10 boîtes pleines.
b) Il reste 6 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 469 | non | oui | non | oui | non |
| 115 | non | non | oui | non | non |
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 7 606 | oui | non | non | non | non |
| 7 000 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
8 469 → 8 + 4 + 6 + 9 = 27 115 → 1 + 1 + 5 = 7 471 → 4 + 7 + 1 = 12
7 606 → 7 + 6 + 0 + 6 = 19 7 000 → 7 + 0 + 0 + 0 = 7
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 5 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 12 ; □ = 4 : 15 ; □ = 7 : 18
3 solutions : 615, 645, 675.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 51 est divisible par 3 (51 = 3 × 17) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 80 est un multiple de 3. » Faux. 80 = 3 × 26 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 42 − 13 + 15 = 29 + 15 = 44
B = 14 + 63 ÷ 7 × 3 = 14 + 9 × 3 = 14 + 27 = 41
C = 82 − 2 × (13 − 6) = 82 − 2 × 7 = 82 − 14 = 68
D = 4 × [33 − (5 + 4)] = 4 × [33 − 9] = 4 × 24 = 96
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (6 × 9 + 3) = 3 × (54 + 3) = 3 × 57 = 171
(7 + 2) × 8 + 8 = 9 × 8 + 8 = 72 + 8 = 80
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 43 × 30 + 43 × 70 = 43 × (30 + 70) = 43 × 100 = 4 300
F = 37 × 101 = 37 × (100 + 1) = 37 × 100 + 37 × 1 = 3 700 + 37 = 3 737
G = 82 + 0,75 + 18 = 82 + 18 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 = 3² 6 × 6 × 6 = 6³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
99 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 99 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
114 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 114 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 8 = 4 × 9 − 8 = 36 − 8 = 28
B = (4 × 3)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 5 = 3 × 4² − 5 = 3 × 16 − 5 = 48 − 5 = 43
B = (3a)² − 5 = (3 × 4)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 67. » → encore 65 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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