Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (9 − 2) × 3 = 7 × 3 = 21
B = 9 − 2 × 3 = 9 − 6 = 3
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 38 − 3 × 7 est une différence : c'est la différence entre 38 et le produit de 3 par 7.
D = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
E = 9² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 109 = 327 ≤ 329 < 330 = 3 × 110 : le quotient est 109, le reste 329 − 327 = 2.
329 = 3 × 109 + 2, avec 2 < 3.
11 × 80 = 880 ≤ 884 < 891 = 11 × 81 : le quotient est 80, le reste 884 − 880 = 4.
884 = 11 × 80 + 4, avec 4 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 318 = 15 × 20 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 318 = 15 × 22 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 318 = 15 × 21 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 21, reste 3.
Comme 3 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 318 par 21 : quotient 15, reste 3.
3. 189 = 6 × 31 + 3, avec 3 < 6
a) Elle remplit 31 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 722 | oui | non | non | non | non |
| 447 | non | oui | non | non | non |
| 485 | non | non | oui | non | non |
| 6 200 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 331 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
9 722 → 9 + 7 + 2 + 2 = 20 447 → 4 + 4 + 7 = 15 485 → 4 + 8 + 5 = 17
6 200 → 6 + 2 + 0 + 0 = 8 2 331 → 2 + 3 + 3 + 1 = 9
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 2 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 825.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 21 est divisible par 3 (21 = 3 × 7) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 80. » Vrai. 80 = 4 × 20 : le reste de la division de 80 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 5 + 8 × 4 = 5 + 32 = 37
B = 42 ÷ 6 × 5 = 7 × 5 = 35
C = 51 − 4 × (11 − 6) = 51 − 4 × 5 = 51 − 20 = 31
D = 3,1 + 3 × 0,2 = 3,1 + 0,6 = 3,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 6 × 6) × 4 = (8 + 36) × 4 = 44 × 4 = 176
5 + (9 + 3) × 5 = 5 + 12 × 5 = 5 + 60 = 65
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 98 × 50 = 2 × 50 × 98 = 100 × 98 = 9 800
F = 3,6 × 0,25 + 3,6 × 0,75 = 3,6 × (0,25 + 0,75) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 15 × 99 = 15 × (100 − 1) = 15 × 100 − 15 × 1 = 1 500 − 15 = 1 485
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 = 3² 5 × 5 × 5 = 5³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²)
121 = 11² : carré 145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 5 = 4 × 4 − 5 = 16 − 5 = 11
B = (4 × 2)² − 5 = 8² − 5 = 64 − 5 = 59
C = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
D = (6 + 7)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : (a + 8)² = (4 + 8)² = 12² = 144
Pour a = 10 : (a + 8)² = (10 + 8)² = 18² = 324
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 249 et 311. » → encore 61 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.