Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
B = (2 × 5)² = 10² = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 12) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 3 et 12 par 3.
D = 4 + 36 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 4 et du quotient de 36 par 6.
E = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 18 = 108 ≤ 111 < 114 = 6 × 19 : le quotient est 18, le reste 111 − 108 = 3.
111 = 6 × 18 + 3, avec 3 < 6.
21 × 26 = 546 ≤ 559 < 567 = 21 × 27 : le quotient est 26, le reste 559 − 546 = 13.
559 = 21 × 26 + 13, avec 13 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 75 = 9 × 9 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 75 = 9 × 8 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 75 = 9 × 7 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 8, reste 3.
Comme 3 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 75 par 8 : quotient 9, reste 3.
3. 50 = 7 × 7 + 1
a) 50 jours font 7 semaines complètes et 1 jour.
Après 7 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 1 jour : lundi → mardi.
b) Dans 50 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 519 | non | oui | non | oui | non |
| 515 | non | non | oui | non | non |
| 8 422 | oui | non | non | non | non |
| 9 890 | oui | non | oui | non | oui |
| 357 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 519 → 3 + 5 + 1 + 9 = 18 515 → 5 + 1 + 5 = 11 8 422 → 8 + 4 + 2 + 2 = 16
9 890 → 9 + 8 + 9 + 0 = 26 357 → 3 + 5 + 7 = 15
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 1 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 621.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 84 est un multiple de 4. » Vrai. 84 = 4 × 21 : le reste de la division de 84 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 5 + 6 × 8 = 5 + 48 = 53
B = 14 + 63 ÷ 9 × 2 = 14 + 7 × 2 = 14 + 14 = 28
C = (4 + 10) × 6 − 8 = 14 × 6 − 8 = 84 − 8 = 76
D = 5,3 + 3 × 0,5 = 5,3 + 1,5 = 6,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × 7 − (6 + 5) = 4 × 7 − 11 = 28 − 11 = 17
4 × (5 × 2 + 4) = 4 × (10 + 4) = 4 × 14 = 56
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 36 × 50 = 2 × 50 × 36 = 100 × 36 = 3 600
F = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
G = 17 × 11 = 17 × (10 + 1) = 17 × 10 + 17 × 1 = 170 + 17 = 187
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 2 × 2 × 2 = 2³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 55 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 55 < 64 = 8²)
110 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 110 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
144 = 12² : carré 147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 9 = 5 × 25 − 9 = 125 − 9 = 116
B = (5 × 5)² − 9 = 25² − 9 = 625 − 9 = 616
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 2 = 1² + 2 = 1 + 2 = 3 et 3x = 3 × 1 = 3.
3 = 3 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 6 : x² + 2 = 6² + 2 = 36 + 2 = 38 et 3x = 3 × 6 = 18.
38 ≠ 18 : l'égalité est fausse pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 1 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 139 :
11² = 121 ≤ 139 et 12² = 144 > 139.
a) Elle mettra 11 dalles sur chaque côté.
139 − 121 = 18
b) Il lui restera 18 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 99 et 128. » → encore 28 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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