Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 6)² = 12² = 144
B = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = (10 + 53) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 10 et 53 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 110 = 880 ≤ 881 < 888 = 8 × 111 : le quotient est 110, le reste 881 − 880 = 1.
881 = 8 × 110 + 1, avec 1 < 8.
11 × 134 = 1 474 ≤ 1 478 < 1 485 = 11 × 135 : le quotient est 134, le reste 1 478 − 1 474 = 4.
1 478 = 11 × 134 + 4, avec 4 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 287 = 8 × 35 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 287 = 8 × 34 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 287 = 8 × 36 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 35, reste 7.
Comme 7 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 287 par 35 : quotient 8, reste 7.
3. 32 = 7 × 4 + 4, avec 4 < 7
a) Chaque joueur reçoit 4 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 750 | oui | oui | oui | non | oui |
| 9 044 | oui | non | non | non | non |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 7 479 | non | oui | non | oui | non |
| 515 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 750 → 9 + 7 + 5 + 0 = 21 9 044 → 9 + 0 + 4 + 4 = 17 147 → 1 + 4 + 7 = 12
7 479 → 7 + 4 + 7 + 9 = 27 515 → 5 + 1 + 5 = 11
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 1 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3 ; □ = 6 : 9
2 solutions : 210, 216.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 23 se termine par 3, mais 23 = 3 × 7 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 89 est un multiple de 8. » Faux. 89 = 8 × 11 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 69 − 2 × 3 = 69 − 6 = 63
B = 15 + 15 ÷ 5 × 3 = 15 + 3 × 3 = 15 + 9 = 24
C = 50 − 2 × (14 − 5) = 50 − 2 × 9 = 50 − 18 = 32
D = 4,8 + 6 × 0,2 = 4,8 + 1,2 = 6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (7 − 4) − 5 = 8 × 3 − 5 = 24 − 5 = 19
5 × (5 × 7 + 3) = 5 × (35 + 3) = 5 × 38 = 190
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 + 3,45 + 55 = 45 + 55 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 21 × 9 = 21 × (10 − 1) = 21 × 10 − 21 × 1 = 210 − 21 = 189
G = 2,7 × 0,7 + 2,7 × 0,3 = 2,7 × (0,7 + 0,3) = 2,7 × 1 = 2,7
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³ 5 × 5 = 5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 19 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 19 < 25 = 5²)
25 = 5² : carré 62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 8 = 3 × 4 − 8 = 12 − 8 = 4
B = (3 × 2)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
C = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
D = (3 + 1)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 2 = 5 × 2² − 2 = 5 × 4 − 2 = 20 − 2 = 18
B = (5a)² − 2 = (5 × 2)² − 2 = 10² − 2 = 100 − 2 = 98
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 87 :
9² = 81 ≤ 87 et 10² = 100 > 87.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
87 − 81 = 6
b) Il lui restera 6 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 13 et 75. » → encore 61 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25, 49.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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