Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 18 + 54 ÷ 6 = 18 + 9 = 27
B = (18 + 54) ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2² + 8² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 8.
D = (6 + 5) × 4 est un produit : c'est le produit de la somme de 6 et 5 par 4.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 41 = 123 ≤ 124 < 126 = 3 × 42 : le quotient est 41, le reste 124 − 123 = 1.
124 = 3 × 41 + 1, avec 1 < 3.
14 × 149 = 2 086 ≤ 2 095 < 2 100 = 14 × 150 : le quotient est 149, le reste 2 095 − 2 086 = 9.
2 095 = 14 × 149 + 9, avec 9 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 177 = 9 × 18 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 177 = 9 × 19 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 177 = 9 × 20 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 19, reste 6.
Comme 6 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 177 par 19 : quotient 9, reste 6.
3. 108 = 5 × 21 + 3, avec 3 < 5
a) Chaque joueur reçoit 21 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 478 | oui | non | non | non | non |
| 185 | non | non | oui | non | non |
| 1 629 | non | oui | non | oui | non |
| 1 810 | oui | non | oui | non | oui |
| 777 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 478 → 3 + 4 + 7 + 8 = 22 185 → 1 + 8 + 5 = 14 1 629 → 1 + 6 + 2 + 9 = 18
1 810 → 1 + 8 + 1 + 0 = 10 777 → 7 + 7 + 7 = 21
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 6 + 1 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 615.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 46 est pair mais 46 = 3 × 15 + 1.
« 69 est un multiple de 5. » Faux. 69 = 5 × 13 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 5 + 9 × 6 = 5 + 54 = 59
B = 15 + 63 ÷ 9 × 4 = 15 + 7 × 4 = 15 + 28 = 43
C = (6 + 10) × 3 − 4 = 16 × 3 − 4 = 48 − 4 = 44
D = 7,4 + 6 × 1,5 = 7,4 + 9 = 16,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 × 2 + 7) × 4 = (8 + 7) × 4 = 15 × 4 = 60
(2 + 2 + 4) × 3 = (4 + 4) × 3 = 8 × 3 = 24
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 40 × 99 = 40 × (100 − 1) = 40 × 100 − 40 × 1 = 4 000 − 40 = 3 960
F = 43 + 5,05 + 57 = 43 + 57 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 12 × 12 = 12² 5 × 5 × 5 = 5³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
15 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 15 < 16 = 4²) 25 = 5² : carré
27 = 3³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
100 = 10² : carré 110 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 110 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 4 = 5 × 9 − 4 = 45 − 4 = 41
B = (5 × 3)² − 4 = 15² − 4 = 225 − 4 = 221
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 9 = 3 × 2² − 9 = 3 × 4 − 9 = 12 − 9 = 3
B = (3a)² − 9 = (3 × 2)² − 9 = 6² − 9 = 36 − 9 = 27
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 7² = π × 49 = 49π
a) L'aire exacte est 49π m².
49 × 3,14 = 153,86
b) L'aire vaut environ 154 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 7², et non (π × 7)². On élève 7 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 155 et 206. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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