Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (11 − 3) × 2 = 8 × 2 = 16
B = 11 − 3 × 2 = 11 − 6 = 5
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² − 15 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 15.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 3 × (9 − 8) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 9 et 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 104 = 936 ≤ 942 < 945 = 9 × 105 : le quotient est 104, le reste 942 − 936 = 6.
942 = 9 × 104 + 6, avec 6 < 9.
21 × 79 = 1 659 ≤ 1 675 < 1 680 = 21 × 80 : le quotient est 79, le reste 1 675 − 1 659 = 16.
1 675 = 21 × 79 + 16, avec 16 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 158 = 9 × 18 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 158 = 9 × 16 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 158 = 9 × 17 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 9. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 17, reste 5.
Comme 5 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 158 par 17 : quotient 9, reste 5.
3. 110 = 7 × 15 + 5
a) 110 jours font 15 semaines complètes et 5 jours.
Après 15 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 5 jours : jeudi → vendredi → samedi → dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 110 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 201 | non | oui | non | non | non |
| 9 459 | non | oui | non | oui | non |
| 275 | non | non | oui | non | non |
| 3 614 | oui | non | non | non | non |
| 7 850 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
201 → 2 + 0 + 1 = 3 9 459 → 9 + 4 + 5 + 9 = 27 275 → 2 + 7 + 5 = 14
3 614 → 3 + 6 + 1 + 4 = 14 7 850 → 7 + 8 + 5 + 0 = 20
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 2 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 612.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 42 est divisible par 3 (42 = 3 × 14) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 49. » Faux. 49 = 4 × 12 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 67 − 5 × 6 = 67 − 30 = 37
B = 5 × 2 − 5 × 2 = 10 − 10 = 0
C = (12 + 4) × 4 − 2 = 16 × 4 − 2 = 64 − 2 = 62
D = 6,7 + 5 × 2,5 = 6,7 + 12,5 = 19,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (2 + 7) + 6 = 5 × 9 + 6 = 45 + 6 = 51
(6 + 2 + 6) × 3 = (8 + 6) × 3 = 14 × 3 = 42
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
F = 45 × 99 = 45 × (100 − 1) = 45 × 100 − 45 × 1 = 4 500 − 45 = 4 455
G = 5 × 73 × 20 = 5 × 20 × 73 = 100 × 73 = 7 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 3 × 3 = 3² 4 × 4 × 4 = 4³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (4 + 5)² = 4² + 5² » Faux. (4 + 5)² = 9² = 81, alors que 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
102 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 102 < 121 = 11²) 120 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 120 < 121 = 11²)
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 1 = 3 × 36 − 1 = 108 − 1 = 107
B = (3 × 6)² − 1 = 18² − 1 = 324 − 1 = 323
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : 2n³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 114 :
10² = 100 ≤ 114 et 11² = 121 > 114.
a) Elle mettra 10 dalles sur chaque côté.
114 − 100 = 14
b) Il lui restera 14 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 47. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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