Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (20 − 3) × 3 = 17 × 3 = 51
B = 20 − 3 × 3 = 20 − 9 = 11
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (4 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 7.
D = 4 × 6² − 10 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 6 et 10.
E = (31 + 9) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 31 et 9 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 115 = 690 ≤ 693 < 696 = 6 × 116 : le quotient est 115, le reste 693 − 690 = 3.
693 = 6 × 115 + 3, avec 3 < 6.
13 × 33 = 429 ≤ 430 < 442 = 13 × 34 : le quotient est 33, le reste 430 − 429 = 1.
430 = 13 × 33 + 1, avec 1 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 372 = 11 × 33 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 372 = 11 × 34 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 372 = 11 × 32 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 33, reste 9.
Comme 9 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 372 par 33 : quotient 11, reste 9.
3. 94 = 7 × 13 + 3
a) 94 jours font 13 semaines complètes et 3 jours.
Après 13 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 3 jours : jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 94 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 865 | non | non | oui | non | non |
| 8 217 | non | oui | non | oui | non |
| 4 112 | oui | non | non | non | non |
| 831 | non | oui | non | non | non |
| 5 530 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
865 → 8 + 6 + 5 = 19 8 217 → 8 + 2 + 1 + 7 = 18 4 112 → 4 + 1 + 1 + 2 = 8
831 → 8 + 3 + 1 = 12 5 530 → 5 + 5 + 3 + 0 = 13
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 0 = 3 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3 ; □ = 3 : 6 ; □ = 6 : 9 ; □ = 9 : 12
4 solutions : 300, 330, 360, 390.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 86 est un multiple de 5. » Faux. 86 = 5 × 17 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 58 − 3 + 10 = 55 + 10 = 65
B = 10 ÷ 2 × 5 = 5 × 5 = 25
C = (12 + 2) × 2 − 2 = 14 × 2 − 2 = 28 − 2 = 26
D = 4,1 + 5 × 1,5 = 4,1 + 7,5 = 11,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 6) × 8 + 8 = 11 × 8 + 8 = 88 + 8 = 96
(4 × 4 − 4) × 3 = (16 − 4) × 3 = 12 × 3 = 36
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 49 × 30 − 49 × 20 = 49 × (30 − 20) = 49 × 10 = 490
F = 12 + 0,75 + 88 = 12 + 88 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 31 × 101 = 31 × (100 + 1) = 31 × 100 + 31 × 1 = 3 100 + 31 = 3 131
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 × 6 = 6³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4 × 3² = 12² » Faux. 4 × 3² = 4 × 9 = 36, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
43 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 43 < 49 = 7²) 48 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 48 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 5 = 4 × 36 − 5 = 144 − 5 = 139
B = (4 × 6)² − 5 = 24² − 5 = 576 − 5 = 571
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 8 = 3 × 5² − 8 = 3 × 25 − 8 = 75 − 8 = 67
B = (3a)² − 8 = (3 × 5)² − 8 = 15² − 8 = 225 − 8 = 217
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 97 :
9² = 81 ≤ 97 et 10² = 100 > 97.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
97 − 81 = 16
b) Il lui restera 16 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 42. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 4, 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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