Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (45 + 25) ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14
B = 45 + 25 ÷ 5 = 45 + 5 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6² − 30 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 30.
D = 2² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 6.
E = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 27 = 216 ≤ 223 < 224 = 8 × 28 : le quotient est 27, le reste 223 − 216 = 7.
223 = 8 × 27 + 7, avec 7 < 8.
11 × 75 = 825 ≤ 831 < 836 = 11 × 76 : le quotient est 75, le reste 831 − 825 = 6.
831 = 11 × 75 + 6, avec 6 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 266 = 8 × 32 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 266 = 8 × 34 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 266 = 8 × 33 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 33, reste 2.
Comme 2 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 266 par 33 : quotient 8, reste 2.
3. 70 = 9 × 7 + 7
7 minibus pleins transportent 63 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 7 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 340 | oui | non | oui | non | oui |
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 845 | non | non | oui | non | non |
| 1 809 | non | oui | non | oui | non |
| 2 522 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 340 → 7 + 3 + 4 + 0 = 14 591 → 5 + 9 + 1 = 15 845 → 8 + 4 + 5 = 17
1 809 → 1 + 8 + 0 + 9 = 18 2 522 → 2 + 5 + 2 + 2 = 11
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 6 + 8 + □ = 14 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 684.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 315, somme des chiffres 9.
« 62 est un multiple de 3. » Faux. 62 = 3 × 20 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 46 − 5 × 4 = 46 − 20 = 26
B = 11 + 10 ÷ 5 × 2 = 11 + 2 × 2 = 11 + 4 = 15
C = (6 × 8 − 2) ÷ 5 = (48 − 2) ÷ 5 = 46 ÷ 5 = 9,2
D = 8,9 + 6 × 1,2 = 8,9 + 7,2 = 16,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (7 + 4 + 6) = 3 × (11 + 6) = 3 × 17 = 51
(5 + 2) × 5 − 8 = 7 × 5 − 8 = 35 − 8 = 27
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 36 × 101 = 36 × (100 + 1) = 36 × 100 + 36 × 1 = 3 600 + 36 = 3 636
F = 8 × 21 × 125 = 8 × 125 × 21 = 1 000 × 21 = 21 000
G = 22 × 78 + 22 × 22 = 22 × (78 + 22) = 22 × 100 = 2 200
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 4 × 4 = 4² 0,7 × 0,7 = 0,7²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4 × 3² = 12² » Faux. 4 × 3² = 4 × 9 = 36, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
70 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 70 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 7 = 2 × 36 − 7 = 72 − 7 = 65
B = (2 × 6)² − 7 = 12² − 7 = 144 − 7 = 137
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : n² + 7n = 3² + 7 × 3 = 9 + 7 × 3 = 9 + 21 = 30
Pour n = 0,5 : n² + 7n = 0,5² + 7 × 0,5 = 0,25 + 7 × 0,5 = 0,25 + 3,5 = 3,75
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
3 × 2 = 6
a) Il faut 6 carreaux le long d'un côté.
6 rangées de 6 carreaux : 6² = 6 × 6 = 36
b) Il faut 36 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 6 et 46. » → encore 39 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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