Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8 + 45 ÷ 9 est une somme : c'est la somme de 8 et du quotient de 45 par 9.
D = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
E = (8 + 24) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 8 et 24 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 105 = 735 ≤ 739 < 742 = 7 × 106 : le quotient est 105, le reste 739 − 735 = 4.
739 = 7 × 105 + 4, avec 4 < 7.
26 × 64 = 1 664 ≤ 1 682 < 1 690 = 26 × 65 : le quotient est 64, le reste 1 682 − 1 664 = 18.
1 682 = 26 × 64 + 18, avec 18 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 324 = 8 × 40 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 324 = 8 × 41 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 324 = 8 × 39 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 40, reste 4.
Comme 4 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 324 par 40 : quotient 8, reste 4.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 730 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 599 | non | oui | non | oui | non |
| 925 | non | non | oui | non | non |
| 231 | non | oui | non | non | non |
| 8 306 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 730 → 9 + 7 + 3 + 0 = 19 4 599 → 4 + 5 + 9 + 9 = 27 925 → 9 + 2 + 5 = 16
231 → 2 + 3 + 1 = 6 8 306 → 8 + 3 + 0 + 6 = 17
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 0 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 900, 990.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 5 est un diviseur de 55. » Vrai. 55 = 5 × 11 : le reste de la division de 55 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 45 − 5 × 5 = 45 − 25 = 20
B = 17 + 16 ÷ 2 × 4 = 17 + 8 × 4 = 17 + 32 = 49
C = (4 × 3 − 5) ÷ 2 = (12 − 5) ÷ 2 = 7 ÷ 2 = 3,5
D = [3 + 7 × (7 − 5)] ÷ 5 = [3 + 7 × 2] ÷ 5 = [3 + 14] ÷ 5 = 17 ÷ 5 = 3,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 3 − (7 − 4) = 9 + 3 − 3 = 12 − 3 = 9
6 × (7 + 7) − 8 = 6 × 14 − 8 = 84 − 8 = 76
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 49 × 31 − 49 × 21 = 49 × (31 − 21) = 49 × 10 = 490
F = 47 × 101 = 47 × (100 + 1) = 47 × 100 + 47 × 1 = 4 700 + 47 = 4 747
G = 2 × 30 × 5 = 2 × 5 × 30 = 10 × 30 = 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 7 × 7 = 7² 3 × 3 × 3 = 3³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 69 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 69 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²)
125 = 5³ : cube 148 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 148 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 2 = 5 × 9 − 2 = 45 − 2 = 43
B = (5 × 3)² − 2 = 15² − 2 = 225 − 2 = 223
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 4 = 5 × 4² − 4 = 5 × 16 − 4 = 80 − 4 = 76
B = (5a)² − 4 = (5 × 4)² − 4 = 20² − 4 = 400 − 4 = 396
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 41. » → encore 39 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 4, 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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