Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
B = (2 + 3)² = 5² = 25
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8 + 3 × 9 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 3 par 9.
D = (7 + 28) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 7 et 28 par 7.
E = 3 × 2² − 20 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 2 et 20.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 249 = 996 ≤ 997 < 1 000 = 4 × 250 : le quotient est 249, le reste 997 − 996 = 1.
997 = 4 × 249 + 1, avec 1 < 4.
24 × 65 = 1 560 ≤ 1 574 < 1 584 = 24 × 66 : le quotient est 65, le reste 1 574 − 1 560 = 14.
1 574 = 24 × 65 + 14, avec 14 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 122 = 15 × 8 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 122 = 15 × 9 − 13 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 122 = 15 × 7 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 8, reste 2.
Comme 2 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 122 par 8 : quotient 15, reste 2.
3. 230 = 7 × 32 + 6
a) 230 jours font 32 semaines complètes et 6 jours.
Après 32 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 6 jours : lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 230 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 725 | non | non | oui | non | non |
| 2 080 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 661 | non | oui | non | oui | non |
| 861 | non | oui | non | non | non |
| 8 002 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
725 → 7 + 2 + 5 = 14 2 080 → 2 + 0 + 8 + 0 = 10 5 661 → 5 + 6 + 6 + 1 = 18
861 → 8 + 6 + 1 = 15 8 002 → 8 + 0 + 0 + 2 = 10
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 9 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 5 : 18 ; □ = 8 : 21
3 solutions : 429, 459, 489.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 5 est un diviseur de 100. » Vrai. 100 = 5 × 20 : le reste de la division de 100 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 75 − 4 × 9 = 75 − 36 = 39
B = 72 ÷ 8 × 4 = 9 × 4 = 36
C = (4 × 8 − 3) ÷ 2 = (32 − 3) ÷ 2 = 29 ÷ 2 = 14,5
D = 5 × [37 − (2 + 2)] = 5 × [37 − 4] = 5 × 33 = 165
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (5 × 6 + 8) = 5 × (30 + 8) = 5 × 38 = 190
8 + 5 − (8 + 4) = 8 + 5 − 12 = 13 − 12 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 54 + 7,8 + 46 = 54 + 46 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 31 × 34 − 31 × 24 = 31 × (34 − 24) = 31 × 10 = 310
G = 21 × 11 = 21 × (10 + 1) = 21 × 10 + 21 × 1 = 210 + 21 = 231
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 3 × 3 = 3² 4 × 4 × 4 = 4³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 17 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 17 < 25 = 5²)
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
136 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 136 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 1 = 3 × 16 − 1 = 48 − 1 = 47
B = (3 × 4)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
C = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
D = (2 + 6)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : (a + 4)² = (5 + 4)² = 9² = 81
Pour a = 10 : (a + 4)² = (10 + 4)² = 14² = 196
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 133 :
11² = 121 ≤ 133 et 12² = 144 > 133.
a) Elle mettra 11 dalles sur chaque côté.
133 − 121 = 12
b) Il lui restera 12 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 65. » → encore 63 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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