Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 5.
D = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
E = (13 + 7) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 13 et 7 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 109 = 872 ≤ 877 < 880 = 8 × 110 : le quotient est 109, le reste 877 − 872 = 5.
877 = 8 × 109 + 5, avec 5 < 8.
20 × 42 = 840 ≤ 844 < 860 = 20 × 43 : le quotient est 42, le reste 844 − 840 = 4.
844 = 20 × 42 + 4, avec 4 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 322 = 12 × 26 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 322 = 12 × 25 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 322 = 12 × 27 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 26, reste 10.
Comme 10 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 322 par 26 : quotient 12, reste 10.
3. 190 = 15 × 12 + 10
En 12 soirs, elle lit 180 pages ; il lui en reste encore 10.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 10 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 7 749 | non | oui | non | oui | non |
| 4 980 | oui | oui | oui | non | oui |
| 2 852 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
955 → 9 + 5 + 5 = 19 417 → 4 + 1 + 7 = 12 7 749 → 7 + 7 + 4 + 9 = 27
4 980 → 4 + 9 + 8 + 0 = 21 2 852 → 2 + 8 + 5 + 2 = 17
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 1 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 8 : 18
Une seule solution : 981.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 202 est un multiple de 9. » Faux. 202 = 9 × 22 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 57 − 2 × 4 = 57 − 8 = 49
B = 6 × 5 − 4 × 2 = 30 − 8 = 22
C = (11 + 3) × 3 − 18 = 14 × 3 − 18 = 42 − 18 = 24
D = 5 × [27 − (9 + 4)] = 5 × [27 − 13] = 5 × 14 = 70
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (6 + 8) − 3 = 7 × 14 − 3 = 98 − 3 = 95
(2 + 6) × 4 + 8 = 8 × 4 + 8 = 32 + 8 = 40
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 44 × 99 = 44 × (100 − 1) = 44 × 100 − 44 × 1 = 4 400 − 44 = 4 356
F = 37 × 48 − 37 × 38 = 37 × (48 − 38) = 37 × 10 = 370
G = 4 × 41 × 25 = 4 × 25 × 41 = 100 × 41 = 4 100
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 3 × 3 × 3 = 3³ 7 × 7 = 7²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (4 + 2)² = 4² + 2² » Faux. (4 + 2)² = 6² = 36, alors que 4² + 2² = 16 + 4 = 20.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²)
72 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 72 < 81 = 9²) 116 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 116 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 1 = 3 × 9 − 1 = 27 − 1 = 26
B = (3 × 3)² − 1 = 9² − 1 = 81 − 1 = 80
C = 1² + 2² = 1 + 4 = 5
D = (1 + 2)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 5 : n² + 10 = 5² + 10 = 25 + 10 = 35 et 7n = 7 × 5 = 35.
35 = 35 : l'égalité est vraie pour n = 5.
Pour n = 8 : n² + 10 = 8² + 10 = 64 + 10 = 74 et 7n = 7 × 8 = 56.
74 ≠ 56 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 2, et seulement pour 5 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
4 × 5 = 20
a) Il faut 20 carreaux le long d'un côté.
20 rangées de 20 carreaux : 20² = 20 × 20 = 400
b) Il faut 400 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 72 et 120. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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