Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6 + 6 × 4 = 6 + 24 = 30
B = (6 + 6) × 4 = 12 × 4 = 48
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
D = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
E = 1² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 82 = 656 ≤ 657 < 664 = 8 × 83 : le quotient est 82, le reste 657 − 656 = 1.
657 = 8 × 82 + 1, avec 1 < 8.
20 × 122 = 2 440 ≤ 2 455 < 2 460 = 20 × 123 : le quotient est 122, le reste 2 455 − 2 440 = 15.
2 455 = 20 × 122 + 15, avec 15 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 303 = 10 × 30 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 303 = 10 × 31 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 303 = 10 × 29 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 30, reste 3.
Comme 3 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 303 par 30 : quotient 10, reste 3.
3. 32 = 5 × 6 + 2, avec 2 < 5
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 870 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 223 | non | oui | non | oui | non |
| 861 | non | oui | non | non | non |
| 5 342 | oui | non | non | non | non |
| 605 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
2 870 → 2 + 8 + 7 + 0 = 17 2 223 → 2 + 2 + 2 + 3 = 9 861 → 8 + 6 + 1 = 15
5 342 → 5 + 3 + 4 + 2 = 14 605 → 6 + 0 + 5 = 11
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 2 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 420.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 48 est divisible par 3 (48 = 3 × 16) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 83 est un multiple de 3. » Faux. 83 = 3 × 27 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 68 − 6 × 2 = 68 − 12 = 56
B = 4 + 14 ÷ 2 × 4 = 4 + 7 × 4 = 4 + 28 = 32
C = (9 × 9 − 9) ÷ 2 = (81 − 9) ÷ 2 = 72 ÷ 2 = 36
D = 6,6 + 5 × 0,5 = 6,6 + 2,5 = 9,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (6 × 5 + 9) = 2 × (30 + 9) = 2 × 39 = 78
2 × (8 − 3) + 6 = 2 × 5 + 6 = 10 + 6 = 16
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 18 × 55 + 18 × 45 = 18 × (55 + 45) = 18 × 100 = 1 800
F = 24 × 9 = 24 × (10 − 1) = 24 × 10 − 24 × 1 = 240 − 24 = 216
G = 48 + 3,45 + 52 = 48 + 52 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 1,1 × 1,1 = 1,1² 6 × 6 × 6 = 6³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 4 × 6² = 24² » Faux. 4 × 6² = 4 × 36 = 144, alors que 24² = 576. Le carré ne porte que sur 6.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
49 = 7² : carré 57 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 57 < 64 = 8²)
88 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 88 < 100 = 10²) 94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 2 = 2 × 4 − 2 = 8 − 2 = 6
B = (2 × 2)² − 2 = 4² − 2 = 16 − 2 = 14
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 4 = 4 × 4² − 4 = 4 × 16 − 4 = 64 − 4 = 60
B = (4x)² − 4 = (4 × 4)² − 4 = 16² − 4 = 256 − 4 = 252
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 105 et 153. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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