Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 8) × 9 = 11 × 9 = 99
B = 3 + 8 × 9 = 3 + 72 = 75
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 + 56 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 3 et du quotient de 56 par 7.
D = (7 + 9) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 7 et 9 par 7.
E = 4 × 9² − 15 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 9 et 15.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 52 = 416 ≤ 422 < 424 = 8 × 53 : le quotient est 52, le reste 422 − 416 = 6.
422 = 8 × 52 + 6, avec 6 < 8.
28 × 45 = 1 260 ≤ 1 284 < 1 288 = 28 × 46 : le quotient est 45, le reste 1 284 − 1 260 = 24.
1 284 = 28 × 45 + 24, avec 24 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 355 = 9 × 38 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 355 = 9 × 39 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 355 = 9 × 40 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 39, reste 4.
Comme 4 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 355 par 39 : quotient 9, reste 4.
3. 262 = 7 × 37 + 3
a) 262 jours font 37 semaines complètes et 3 jours.
Après 37 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 3 jours : vendredi → samedi → dimanche → lundi.
b) Dans 262 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 240 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 517 | non | oui | non | oui | non |
| 381 | non | oui | non | non | non |
| 865 | non | non | oui | non | non |
| 4 504 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
5 240 → 5 + 2 + 4 + 0 = 11 5 517 → 5 + 5 + 1 + 7 = 18 381 → 3 + 8 + 1 = 12
865 → 8 + 6 + 5 = 19 4 504 → 4 + 5 + 0 + 4 = 13
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 6 + □ = 14 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 864.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 68 est pair mais 68 = 3 × 22 + 2.
« 261 est un multiple de 9. » Vrai. 261 = 9 × 29 : le reste de la division de 261 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 62 − 3 × 2 = 62 − 6 = 56
B = 20 + 6 ÷ 3 × 4 = 20 + 2 × 4 = 20 + 8 = 28
C = (2 + 9) × 5 − 10 = 11 × 5 − 10 = 55 − 10 = 45
D = [7 + 5 × (9 − 5)] ÷ 2 = [7 + 5 × 4] ÷ 2 = [7 + 20] ÷ 2 = 27 ÷ 2 = 13,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × 5 − (7 − 4) = 4 × 5 − 3 = 20 − 3 = 17
4 × 7 × (9 − 9) = 4 × 7 × 0 = 28 × 0 = 0
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 0,4 + 3,6 × 0,6 = 3,6 × (0,4 + 0,6) = 3,6 × 1 = 3,6
F = 2 × 86 × 50 = 2 × 50 × 86 = 100 × 86 = 8 600
G = 29 × 9 = 29 × (10 − 1) = 29 × 10 − 29 × 1 = 290 − 29 = 261
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 3 × 3 = 3²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
12 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 12 < 16 = 4²) 25 = 5² : carré
85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²) 86 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 86 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 8 = 2 × 36 − 8 = 72 − 8 = 64
B = (2 × 6)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
C = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
D = (2 + 1)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 5 = 2 × 5² − 5 = 2 × 25 − 5 = 50 − 5 = 45
B = (2a)² − 5 = (2 × 5)² − 5 = 10² − 5 = 100 − 5 = 95
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 8² = π × 64 = 64π
a) L'aire exacte est 64π m².
64 × 3,14 = 200,96
b) L'aire vaut environ 201 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 8², et non (π × 8)². On élève 8 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 11 et 65. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16, 25, 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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