Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (28 + 8) ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9
B = 28 + 8 ÷ 4 = 28 + 2 = 30
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (4 + 6) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 4 et 6 par 5.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = 4 + 32 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 4 et du quotient de 32 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 79 = 553 ≤ 555 < 560 = 7 × 80 : le quotient est 79, le reste 555 − 553 = 2.
555 = 7 × 79 + 2, avec 2 < 7.
15 × 56 = 840 ≤ 841 < 855 = 15 × 57 : le quotient est 56, le reste 841 − 840 = 1.
841 = 15 × 56 + 1, avec 1 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 50 = 6 × 7 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 50 = 6 × 9 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 50 = 6 × 8 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 6. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 8, reste 2.
Comme 2 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 50 par 8 : quotient 6, reste 2.
3. 90 = 12 × 7 + 6, avec 6 < 12
a) Elle remplit 7 boîtes pleines.
b) Il reste 6 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 7 623 | non | oui | non | oui | non |
| 625 | non | non | oui | non | non |
| 3 428 | oui | non | non | non | non |
| 2 950 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
147 → 1 + 4 + 7 = 12 7 623 → 7 + 6 + 2 + 3 = 18 625 → 6 + 2 + 5 = 13
3 428 → 3 + 4 + 2 + 8 = 17 2 950 → 2 + 9 + 5 + 0 = 16
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 6 + 4 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 642, 648.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 51 est divisible par 3 (51 = 3 × 17) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 97 est un multiple de 6. » Faux. 97 = 6 × 16 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 65 − 2 × 5 = 65 − 10 = 55
B = 16 + 42 ÷ 7 × 4 = 16 + 6 × 4 = 16 + 24 = 40
C = 59 − 2 × (20 − 2) = 59 − 2 × 18 = 59 − 36 = 23
D = 6,4 + 3 × 1,2 = 6,4 + 3,6 = 10
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (9 + 5) − 4 = 8 × 14 − 4 = 112 − 4 = 108
8 × (8 − 4) − 6 = 8 × 4 − 6 = 32 − 6 = 26
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 48 + 7,8 + 52 = 48 + 52 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 20 × 9 = 20 × (10 − 1) = 20 × 10 − 20 × 1 = 200 − 20 = 180
G = 40 × 58 − 40 × 48 = 40 × (58 − 48) = 40 × 10 = 400
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 9 × 9 = 9² 2 × 2 × 2 = 2³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (2 + 4)² = 2² + 4² » Faux. (2 + 4)² = 6² = 36, alors que 2² + 4² = 4 + 16 = 20.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 81 = 9² : carré
83 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 83 < 100 = 10²) 85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 136 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 136 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 9 = 4 × 16 − 9 = 64 − 9 = 55
B = (4 × 4)² − 9 = 16² − 9 = 256 − 9 = 247
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 3 : n² + 15 = 3² + 15 = 9 + 15 = 24 et 8n = 8 × 3 = 24.
24 = 24 : l'égalité est vraie pour n = 3.
Pour n = 1 : n² + 15 = 1² + 15 = 1 + 15 = 16 et 8n = 8 × 1 = 8.
16 ≠ 8 : l'égalité est fausse pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 3 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 121 et 177. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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