Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 15 − 3 × 4 = 15 − 12 = 3
B = (15 − 3) × 4 = 12 × 4 = 48
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (9 + 4) × 4 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 4 par 4.
D = 34 − 7 × 4 est une différence : c'est la différence entre 34 et le produit de 7 par 4.
E = 3 + 2 × 8 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 2 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 43 = 387 ≤ 388 < 396 = 9 × 44 : le quotient est 43, le reste 388 − 387 = 1.
388 = 9 × 43 + 1, avec 1 < 9.
17 × 35 = 595 ≤ 597 < 612 = 17 × 36 : le quotient est 35, le reste 597 − 595 = 2.
597 = 17 × 35 + 2, avec 2 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 421 = 11 × 37 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 421 = 11 × 38 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 421 = 11 × 39 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 38, reste 3.
Comme 3 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 421 par 38 : quotient 11, reste 3.
3. 34 = 8 × 4 + 2
4 minibus pleins transportent 32 élèves ; il en reste 2 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 2 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 771 | non | oui | non | non | non |
| 9 081 | non | oui | non | oui | non |
| 7 222 | oui | non | non | non | non |
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 4 960 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
771 → 7 + 7 + 1 = 15 9 081 → 9 + 0 + 8 + 1 = 18 7 222 → 7 + 2 + 2 + 2 = 13
325 → 3 + 2 + 5 = 10 4 960 → 4 + 9 + 6 + 0 = 19
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 2 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 7 : 18
Une seule solution : 972.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 15 est divisible par 3 (15 = 3 × 5) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 64. » Vrai. 64 = 4 × 16 : le reste de la division de 64 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 19 + 4 × 9 = 19 + 36 = 55
B = 3 × 5 − 5 × 2 = 15 − 10 = 5
C = 88 − 3 × (18 − 9) = 88 − 3 × 9 = 88 − 27 = 61
D = 6,5 + 4 × 0,5 = 6,5 + 2 = 8,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (8 − 5) × 3 = 6 × 3 × 3 = 18 × 3 = 54
6 + 8 × (9 − 5) = 6 + 8 × 4 = 6 + 32 = 38
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
F = 23 × 101 = 23 × (100 + 1) = 23 × 100 + 23 × 1 = 2 300 + 23 = 2 323
G = 33 + 0,75 + 67 = 33 + 67 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 6 × 6 = 6² 0,4 × 0,4 = 0,4²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« (4 + 5)² = 4² + 5² » Faux. (4 + 5)² = 9² = 81, alors que 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 73 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 73 < 81 = 9²)
79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 2 = 3 × 25 − 2 = 75 − 2 = 73
B = (3 × 5)² − 2 = 15² − 2 = 225 − 2 = 223
C = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
D = (5 + 7)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 2 = 1² + 2 = 1 + 2 = 3 et 3x = 3 × 1 = 3.
3 = 3 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 5 : x² + 2 = 5² + 2 = 25 + 2 = 27 et 3x = 3 × 5 = 15.
27 ≠ 15 : l'égalité est fausse pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 1 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
2 × 5 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 64. » → encore 62 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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