Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 6) × 5 = 8 × 5 = 40
B = 2 + 6 × 5 = 2 + 30 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × (21 − 12) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 21 et 12.
D = 5 × 5² − 15 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 5 et 15.
E = (3 + 9) ÷ 6 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 3 et 9 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 66 = 528 ≤ 532 < 536 = 8 × 67 : le quotient est 66, le reste 532 − 528 = 4.
532 = 8 × 66 + 4, avec 4 < 8.
21 × 68 = 1 428 ≤ 1 438 < 1 449 = 21 × 69 : le quotient est 68, le reste 1 438 − 1 428 = 10.
1 438 = 21 × 68 + 10, avec 10 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 175 = 8 × 22 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 175 = 8 × 21 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 175 = 8 × 20 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 21, reste 7.
Comme 7 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 175 par 21 : quotient 8, reste 7.
3. 58 = 15 × 3 + 13
3 minibus pleins transportent 45 élèves ; il en reste 13 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 13 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 605 | non | non | oui | non | non |
| 3 340 | oui | non | oui | non | oui |
| 267 | non | oui | non | non | non |
| 7 227 | non | oui | non | oui | non |
| 7 916 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
605 → 6 + 0 + 5 = 11 3 340 → 3 + 3 + 4 + 0 = 10 267 → 2 + 6 + 7 = 15
7 227 → 7 + 2 + 2 + 7 = 18 7 916 → 7 + 9 + 1 + 6 = 23
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 9 + 4 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 945.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 44 est pair mais 44 = 3 × 14 + 2.
« 9 est un diviseur de 189. » Vrai. 189 = 9 × 21 : le reste de la division de 189 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 20 − 13 + 13 = 7 + 13 = 20
B = 5 × 4 − 4 × 3 = 20 − 12 = 8
C = (9 × 7 − 1) ÷ 5 = (63 − 1) ÷ 5 = 62 ÷ 5 = 12,4
D = 8,1 + 2 × 2,5 = 8,1 + 5 = 13,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (5 × 2 + 3) = 5 × (10 + 3) = 5 × 13 = 65
3 × (2 + 7 − 3) = 3 × (9 − 3) = 3 × 6 = 18
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 49 × 21 − 49 × 11 = 49 × (21 − 11) = 49 × 10 = 490
F = 8 × 21 × 125 = 8 × 125 × 21 = 1 000 × 21 = 21 000
G = 31 × 101 = 31 × (100 + 1) = 31 × 100 + 31 × 1 = 3 100 + 31 = 3 131
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
« (4 + 1)² = 4² + 1² » Faux. (4 + 1)² = 5² = 25, alors que 4² + 1² = 16 + 1 = 17.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
45 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 45 < 49 = 7²) 49 = 7² : carré
56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²) 118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 6 = 2 × 4 − 6 = 8 − 6 = 2
B = (2 × 2)² − 6 = 4² − 6 = 16 − 6 = 10
C = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
D = (5 + 1)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : 8a² = 8 × 5² = 8 × 25 = 200
Pour a = 10 : 8a² = 8 × 10² = 8 × 100 = 800
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
2 × 2 = 4
a) Il faut 4 carreaux le long d'un côté.
4 rangées de 4 carreaux : 4² = 4 × 4 = 16
b) Il faut 16 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 41 et 84. » → encore 42 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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