Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6 + 4 × 9 = 6 + 36 = 42
B = (6 + 4) × 9 = 10 × 9 = 90
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 6² est un produit : c'est le double du carré de 6.
D = 3 × 2² − 4 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 2 et 4.
E = 6 + 24 ÷ 3 est une somme : c'est la somme de 6 et du quotient de 24 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 136 = 952 ≤ 954 < 959 = 7 × 137 : le quotient est 136, le reste 954 − 952 = 2.
954 = 7 × 136 + 2, avec 2 < 7.
26 × 31 = 806 ≤ 827 < 832 = 26 × 32 : le quotient est 31, le reste 827 − 806 = 21.
827 = 26 × 31 + 21, avec 21 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 485 = 12 × 39 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 485 = 12 × 40 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 485 = 12 × 41 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 40, reste 5.
Comme 5 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 485 par 40 : quotient 12, reste 5.
3. 66 = 12 × 5 + 6
En 5 soirs, elle lit 60 pages ; il lui en reste encore 6.
a) Il lui faut 5 + 1 = 6 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 6 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 185 | non | non | oui | non | non |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 3 069 | non | oui | non | oui | non |
| 8 110 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 524 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
185 → 1 + 8 + 5 = 14 897 → 8 + 9 + 7 = 24 3 069 → 3 + 0 + 6 + 9 = 18
8 110 → 8 + 1 + 1 + 0 = 10 3 524 → 3 + 5 + 2 + 4 = 14
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 2 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3
Une seule solution : 120.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 117, somme des chiffres 9.
« 189 est un multiple de 9. » Vrai. 189 = 9 × 21 : le reste de la division de 189 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 49 − 15 + 7 = 34 + 7 = 41
B = 3 × 2 − 2 × 3 = 6 − 6 = 0
C = (6 × 4 − 7) ÷ 4 = (24 − 7) ÷ 4 = 17 ÷ 4 = 4,25
D = [8 + 7 × (9 − 3)] ÷ 2 = [8 + 7 × 6] ÷ 2 = [8 + 42] ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (5 + 2 + 3) = 4 × (7 + 3) = 4 × 10 = 40
(3 × 7 + 7) × 6 = (21 + 7) × 6 = 28 × 6 = 168
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 49 + 7,8 + 51 = 49 + 51 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 23 × 101 = 23 × (100 + 1) = 23 × 100 + 23 × 1 = 2 300 + 23 = 2 323
G = 2,7 × 0,7 + 2,7 × 0,3 = 2,7 × (0,7 + 0,3) = 2,7 × 1 = 2,7
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 3 × 3 × 3 = 3³ 6 × 6 = 6²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (3 + 2)² = 3² + 2² » Faux. (3 + 2)² = 5² = 25, alors que 3² + 2² = 9 + 4 = 13.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
81 = 9² : carré 88 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 88 < 100 = 10²)
100 = 10² : carré 134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²)
150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 3 = 2 × 9 − 3 = 18 − 3 = 15
B = (2 × 3)² − 3 = 6² − 3 = 36 − 3 = 33
C = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
D = (5 + 6)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 3 : 2a³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 31 et 86. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64, 81.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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