Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (13 − 3) × 2 = 10 × 2 = 20
B = 13 − 3 × 2 = 13 − 6 = 7
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
D = (6 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 7.
E = 4 + 49 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 4 et du quotient de 49 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 192 = 960 ≤ 961 < 965 = 5 × 193 : le quotient est 192, le reste 961 − 960 = 1.
961 = 5 × 192 + 1, avec 1 < 5.
20 × 47 = 940 ≤ 951 < 960 = 20 × 48 : le quotient est 47, le reste 951 − 940 = 11.
951 = 20 × 47 + 11, avec 11 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 281 = 7 × 39 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 281 = 7 × 40 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 281 = 7 × 41 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 40, reste 1.
Comme 1 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 281 par 40 : quotient 7, reste 1.
3. 85 = 7 × 12 + 1
a) 85 jours font 12 semaines complètes et 1 jour.
Après 12 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 1 jour : mercredi → jeudi.
b) Dans 85 jours, nous serons jeudi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 971 | non | oui | non | oui | non |
| 741 | non | oui | non | non | non |
| 5 950 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 218 | oui | non | non | non | non |
| 425 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
1 971 → 1 + 9 + 7 + 1 = 18 741 → 7 + 4 + 1 = 12 5 950 → 5 + 9 + 5 + 0 = 19
2 218 → 2 + 2 + 1 + 8 = 13 425 → 4 + 2 + 5 = 11
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 2 + 4 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 240.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 74 est pair mais 74 = 3 × 24 + 2.
« 198 est un multiple de 9. » Vrai. 198 = 9 × 22 : le reste de la division de 198 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 71 − 2 × 6 = 71 − 12 = 59
B = 4 × 9 − 4 × 3 = 36 − 12 = 24
C = (11 + 7) × 6 − 5 = 18 × 6 − 5 = 108 − 5 = 103
D = 6,8 + 3 × 0,5 = 6,8 + 1,5 = 8,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (4 + 4) + 5 = 5 × 8 + 5 = 40 + 5 = 45
4 × (3 × 7 − 7) = 4 × (21 − 7) = 4 × 14 = 56
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,8 + 4,5 × 0,2 = 4,5 × (0,8 + 0,2) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 75 + 0,75 + 25 = 75 + 25 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 17 × 9 = 17 × (10 − 1) = 17 × 10 − 17 × 1 = 170 − 17 = 153
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 3 × 3 = 3²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 3 × 4² = 12² » Faux. 3 × 4² = 3 × 16 = 48, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 4.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
125 = 5³ : cube 130 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 130 < 144 = 12²)
134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 2 = 5 × 25 − 2 = 125 − 2 = 123
B = (5 × 5)² − 2 = 25² − 2 = 625 − 2 = 623
C = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
D = (7 + 6)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 8 = 4 × 3² − 8 = 4 × 9 − 8 = 36 − 8 = 28
B = (4a)² − 8 = (4 × 3)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 4² = π × 16 = 16π
a) L'aire exacte est 16π m².
16 × 3,14 = 50,24
b) L'aire vaut environ 50 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 4², et non (π × 4)². On élève 4 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 9 et 43. » → encore 33 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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