Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 16 + 24 ÷ 4 = 16 + 6 = 22
B = (16 + 24) ÷ 4 = 40 ÷ 4 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = 3 + 8 × 3 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 8 par 3.
E = 4 × (12 − 9) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 12 et 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 39 = 156 ≤ 157 < 160 = 4 × 40 : le quotient est 39, le reste 157 − 156 = 1.
157 = 4 × 39 + 1, avec 1 < 4.
28 × 53 = 1 484 ≤ 1 495 < 1 512 = 28 × 54 : le quotient est 53, le reste 1 495 − 1 484 = 11.
1 495 = 28 × 53 + 11, avec 11 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 321 = 11 × 30 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 321 = 11 × 28 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 321 = 11 × 29 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 29, reste 2.
Comme 2 < 29 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 321 par 29 : quotient 11, reste 2.
3. 37 = 7 × 5 + 2
a) 37 jours font 5 semaines complètes et 2 jours.
Après 5 semaines complètes, on est de nouveau samedi. Il reste à avancer de 2 jours : samedi → dimanche → lundi.
b) Dans 37 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 698 | oui | non | non | non | non |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 2 907 | non | oui | non | oui | non |
| 6 230 | oui | non | oui | non | oui |
| 515 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
8 698 → 8 + 6 + 9 + 8 = 31 897 → 8 + 9 + 7 = 24 2 907 → 2 + 9 + 0 + 7 = 18
6 230 → 6 + 2 + 3 + 0 = 11 515 → 5 + 1 + 5 = 11
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 9 = 17 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 18
Une seule solution : 819.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 93 est divisible par 3 (93 = 3 × 31) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 7 est un diviseur de 112. » Vrai. 112 = 7 × 16 : le reste de la division de 112 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 77 − 5 × 8 = 77 − 40 = 37
B = 16 + 16 ÷ 8 × 4 = 16 + 2 × 4 = 16 + 8 = 24
C = 52 − 2 × (10 − 2) = 52 − 2 × 8 = 52 − 16 = 36
D = [2 + 7 × (8 − 1)] ÷ 5 = [2 + 7 × 7] ÷ 5 = [2 + 49] ÷ 5 = 51 ÷ 5 = 10,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (7 − 2 + 8) = 5 × (5 + 8) = 5 × 13 = 65
2 + 7 × (8 + 8) = 2 + 7 × 16 = 2 + 112 = 114
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 × 85 − 41 × 75 = 41 × (85 − 75) = 41 × 10 = 410
F = 44 × 9 = 44 × (10 − 1) = 44 × 10 − 44 × 1 = 440 − 44 = 396
G = 8 × 22 × 125 = 8 × 125 × 22 = 1 000 × 22 = 22 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 8 × 8 = 8² 2 × 2 × 2 = 2³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 2 × 3² = 6² » Faux. 2 × 3² = 2 × 9 = 18, alors que 6² = 36. Le carré ne porte que sur 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 33 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 33 < 36 = 6²)
41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²) 42 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 42 < 49 = 7²)
81 = 9² : carré 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 5 = 5 × 25 − 5 = 125 − 5 = 120
B = (5 × 5)² − 5 = 25² − 5 = 625 − 5 = 620
C = 7² + 3² = 49 + 9 = 58
D = (7 + 3)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 8 = 3 × 2² − 8 = 3 × 4 − 8 = 12 − 8 = 4
B = (3a)² − 8 = (3 × 2)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
3 × 5 = 15
a) Il faut 15 carreaux le long d'un côté.
15 rangées de 15 carreaux : 15² = 15 × 15 = 225
b) Il faut 225 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 131 et 209. » → encore 77 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.