Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 7 + 8 × 3 = 7 + 24 = 31
B = (7 + 8) × 3 = 15 × 3 = 45
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 6 et de 7.
D = 23 − 2 × 5 est une différence : c'est la différence entre 23 et le produit de 2 par 5.
E = (3 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 154 = 770 ≤ 771 < 775 = 5 × 155 : le quotient est 154, le reste 771 − 770 = 1.
771 = 5 × 154 + 1, avec 1 < 5.
23 × 22 = 506 ≤ 514 < 529 = 23 × 23 : le quotient est 22, le reste 514 − 506 = 8.
514 = 23 × 22 + 8, avec 8 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 263 = 12 × 22 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 263 = 12 × 20 + 23 : le « reste » 23 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 263 = 12 × 21 + 11 : le reste 11 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 21, reste 11.
Comme 11 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 263 par 21 : quotient 12, reste 11.
3. 54 = 5 × 10 + 4, avec 4 < 5
a) Chaque joueur reçoit 10 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 200 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 124 | oui | non | non | non | non |
| 447 | non | oui | non | non | non |
| 1 953 | non | oui | non | oui | non |
| 685 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
3 200 → 3 + 2 + 0 + 0 = 5 3 124 → 3 + 1 + 2 + 4 = 10 447 → 4 + 4 + 7 = 15
1 953 → 1 + 9 + 5 + 3 = 18 685 → 6 + 8 + 5 = 19
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 6 + 6 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 6 : 18
2 solutions : 660, 666.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 40 est pair mais 40 = 3 × 13 + 1.
« 3 est un diviseur de 54. » Vrai. 54 = 3 × 18 : le reste de la division de 54 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 36 − 14 + 14 = 22 + 14 = 36
B = 18 + 16 ÷ 2 × 3 = 18 + 8 × 3 = 18 + 24 = 42
C = (9 + 5) × 2 − 17 = 14 × 2 − 17 = 28 − 17 = 11
D = [4 + 6 × (9 − 2)] ÷ 5 = [4 + 6 × 7] ÷ 5 = [4 + 42] ÷ 5 = 46 ÷ 5 = 9,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × 3 − (3 + 3) = 2 × 3 − 6 = 6 − 6 = 0
6 × 5 − (9 − 9) = 6 × 5 − 0 = 30 − 0 = 30
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 38 + 3,45 + 62 = 38 + 62 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 12,5 × 0,25 + 12,5 × 0,75 = 12,5 × (0,25 + 0,75) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 26 × 101 = 26 × (100 + 1) = 26 × 100 + 26 × 1 = 2 600 + 26 = 2 626
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 7 × 7 = 7² 3 × 3 × 3 = 3³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3 × 3² = 9² » Faux. 3 × 3² = 3 × 9 = 27, alors que 9² = 81. Le carré ne porte que sur 3.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
31 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 31 < 36 = 6²) 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 72 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 72 < 81 = 9²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 5 = 4 × 9 − 5 = 36 − 5 = 31
B = (4 × 3)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
D = (5 + 1)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 2 : 4x² = 4 × 2² = 4 × 4 = 16
Pour x = 10 : 4x² = 4 × 10² = 4 × 100 = 400
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 6² = π × 36 = 36π
a) L'aire exacte est 36π m².
36 × 3,14 = 113,04
b) L'aire vaut environ 113 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 6², et non (π × 6)². On élève 6 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 167 et 208. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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