Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (27 − 4) × 4 = 23 × 4 = 92
B = 27 − 4 × 4 = 27 − 16 = 11
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 19 − 2 × 4 est une différence : c'est la différence entre 19 et le produit de 2 par 4.
D = (2 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 7.
E = 3 × (14 − 7) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 14 et 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 23 = 184 ≤ 191 < 192 = 8 × 24 : le quotient est 23, le reste 191 − 184 = 7.
191 = 8 × 23 + 7, avec 7 < 8.
13 × 128 = 1 664 ≤ 1 669 < 1 677 = 13 × 129 : le quotient est 128, le reste 1 669 − 1 664 = 5.
1 669 = 13 × 128 + 5, avec 5 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 100 = 12 × 8 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 100 = 12 × 9 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 100 = 12 × 7 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 8, reste 4.
Comme 4 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 100 par 8 : quotient 12, reste 4.
3. 204 = 30 × 6 + 24
En 6 soirs, elle lit 180 pages ; il lui en reste encore 24.
a) Il lui faut 6 + 1 = 7 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 24 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 485 | non | non | oui | non | non |
| 5 026 | oui | non | non | non | non |
| 8 253 | non | oui | non | oui | non |
| 1 110 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
537 → 5 + 3 + 7 = 15 485 → 4 + 8 + 5 = 17 5 026 → 5 + 0 + 2 + 6 = 13
8 253 → 8 + 2 + 5 + 3 = 18 1 110 → 1 + 1 + 1 + 0 = 3
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 4 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 414, 444, 474.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 70 est pair mais 70 = 3 × 23 + 1.
« 3 est un diviseur de 69. » Vrai. 69 = 3 × 23 : le reste de la division de 69 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 4 + 9 × 2 = 4 + 18 = 22
B = 7 × 7 − 6 × 6 = 49 − 36 = 13
C = 55 − 4 × (12 − 8) = 55 − 4 × 4 = 55 − 16 = 39
D = 2 × [22 − (2 + 4)] = 2 × [22 − 6] = 2 × 16 = 32
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × 4 × (5 − 2) = 7 × 4 × 3 = 28 × 3 = 84
8 × (7 − 2) − 4 = 8 × 5 − 4 = 40 − 4 = 36
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,25 + 1,5 × 0,75 = 1,5 × (0,25 + 0,75) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 56 + 3,45 + 44 = 56 + 44 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
G = 20 × 99 = 20 × (100 − 1) = 20 × 100 − 20 × 1 = 2 000 − 20 = 1 980
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 4 × 4 = 4²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
80 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 80 < 81 = 9²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 7 = 2 × 9 − 7 = 18 − 7 = 11
B = (2 × 3)² − 7 = 6² − 7 = 36 − 7 = 29
C = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
D = (2 + 4)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 2 = 4 × 5² − 2 = 4 × 25 − 2 = 100 − 2 = 98
B = (4a)² − 2 = (4 × 5)² − 2 = 20² − 2 = 400 − 2 = 398
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 25 et 104. » → encore 78 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 27, 64.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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