Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 18 + 12 ÷ 2 = 18 + 6 = 24
B = (18 + 12) ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (10 + 5) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 10 et 5 par 3.
D = (10 + 6) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 10 et 6 par 3.
E = (3 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 39 = 351 ≤ 356 < 360 = 9 × 40 : le quotient est 39, le reste 356 − 351 = 5.
356 = 9 × 39 + 5, avec 5 < 9.
25 × 27 = 675 ≤ 684 < 700 = 25 × 28 : le quotient est 27, le reste 684 − 675 = 9.
684 = 25 × 27 + 9, avec 9 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 236 = 9 × 25 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 236 = 9 × 27 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 236 = 9 × 26 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 9. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 26, reste 2.
Comme 2 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 236 par 26 : quotient 9, reste 2.
3. 129 = 7 × 18 + 3
a) 129 jours font 18 semaines complètes et 3 jours.
Après 18 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 3 jours : jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 129 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 771 | non | oui | non | oui | non |
| 507 | non | oui | non | non | non |
| 7 184 | oui | non | non | non | non |
| 3 820 | oui | non | oui | non | oui |
| 245 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
3 771 → 3 + 7 + 7 + 1 = 18 507 → 5 + 0 + 7 = 12 7 184 → 7 + 1 + 8 + 4 = 20
3 820 → 3 + 8 + 2 + 0 = 13 245 → 2 + 4 + 5 = 11
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 6 + 2 + □ = 8 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 12
Une seule solution : 624.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 58 est pair mais 58 = 3 × 19 + 1.
« 240 est un multiple de 8. » Vrai. 240 = 8 × 30 : le reste de la division de 240 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 30 − 15 + 6 = 15 + 6 = 21
B = 3 + 18 ÷ 2 × 2 = 3 + 9 × 2 = 3 + 18 = 21
C = (11 + 11) × 2 − 13 = 22 × 2 − 13 = 44 − 13 = 31
D = 8,1 + 3 × 1,5 = 8,1 + 4,5 = 12,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (4 + 2 + 3) = 7 × (6 + 3) = 7 × 9 = 63
9 × (3 + 2 + 4) = 9 × (5 + 4) = 9 × 9 = 81
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 46 × 73 − 46 × 63 = 46 × (73 − 63) = 46 × 10 = 460
F = 5 × 60 × 20 = 5 × 20 × 60 = 100 × 60 = 6 000
G = 29 × 99 = 29 × (100 − 1) = 29 × 100 − 29 × 1 = 2 900 − 29 = 2 871
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 × 5 = 5³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
31 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 31 < 36 = 6²) 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 73 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 73 < 81 = 9²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 1 = 4 × 16 − 1 = 64 − 1 = 63
B = (4 × 4)² − 1 = 16² − 1 = 256 − 1 = 255
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : 2x³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Pour x = 10 : 2x³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 132 et 198. » → encore 65 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.