Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
B = (7 + 5)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8 + 6 × 8 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 6 par 8.
D = (2 + 3) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 2 et 3 par 2.
E = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 196 = 588 ≤ 589 < 591 = 3 × 197 : le quotient est 196, le reste 589 − 588 = 1.
589 = 3 × 196 + 1, avec 1 < 3.
16 × 107 = 1 712 ≤ 1 722 < 1 728 = 16 × 108 : le quotient est 107, le reste 1 722 − 1 712 = 10.
1 722 = 16 × 107 + 10, avec 10 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 411 = 15 × 28 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 411 = 15 × 27 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 15. ✔
(c) 411 = 15 × 26 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 27, reste 6.
Comme 6 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 411 par 27 : quotient 15, reste 6.
3. 67 = 15 × 4 + 7
4 minibus pleins transportent 60 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 7 = 8 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 763 | non | oui | non | oui | non |
| 561 | non | oui | non | non | non |
| 6 286 | oui | non | non | non | non |
| 9 580 | oui | non | oui | non | oui |
| 595 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
2 763 → 2 + 7 + 6 + 3 = 18 561 → 5 + 6 + 1 = 12 6 286 → 6 + 2 + 8 + 6 = 22
9 580 → 9 + 5 + 8 + 0 = 22 595 → 5 + 9 + 5 = 19
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 5 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 945.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 194. » Faux. 194 = 8 × 24 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 20 − 12 + 12 = 8 + 12 = 20
B = 24 ÷ 8 × 4 = 3 × 4 = 12
C = (8 × 7 − 8) ÷ 5 = (56 − 8) ÷ 5 = 48 ÷ 5 = 9,6
D = 8,7 + 2 × 2,5 = 8,7 + 5 = 13,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + 9 − (3 + 2) = 7 + 9 − 5 = 16 − 5 = 11
(6 + 2) × 8 − 7 = 8 × 8 − 7 = 64 − 7 = 57
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 × 9 = 20 × (10 − 1) = 20 × 10 − 20 × 1 = 200 − 20 = 180
F = 53 + 5,05 + 47 = 53 + 47 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 37 × 51 − 37 × 41 = 37 × (51 − 41) = 37 × 10 = 370
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 8 × 8 = 8²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
100 = 10² : carré 143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²)
144 = 12² : carré 147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 7 = 5 × 25 − 7 = 125 − 7 = 118
B = (5 × 5)² − 7 = 25² − 7 = 625 − 7 = 618
C = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
D = (1 + 5)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : x² + 3x = 3² + 3 × 3 = 9 + 3 × 3 = 9 + 9 = 18
Pour x = 10 : x² + 3x = 10² + 3 × 10 = 100 + 3 × 10 = 100 + 30 = 130
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 106 et 161. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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