Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
B = (2 × 3)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 8² − 15 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 8 et 15.
D = (3 + 9) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 3 et 9 par 3.
E = 9 × (10 − 5) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 10 et 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 149 = 894 ≤ 896 < 900 = 6 × 150 : le quotient est 149, le reste 896 − 894 = 2.
896 = 6 × 149 + 2, avec 2 < 6.
26 × 77 = 2 002 ≤ 2 003 < 2 028 = 26 × 78 : le quotient est 77, le reste 2 003 − 2 002 = 1.
2 003 = 26 × 77 + 1, avec 1 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 75 = 7 × 11 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 75 = 7 × 10 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 75 = 7 × 9 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 10, reste 5.
Comme 5 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 75 par 10 : quotient 7, reste 5.
3. 108 = 8 × 13 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 13 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 231 | non | oui | non | non | non |
| 3 554 | oui | non | non | non | non |
| 3 770 | oui | non | oui | non | oui |
| 515 | non | non | oui | non | non |
| 4 023 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
231 → 2 + 3 + 1 = 6 3 554 → 3 + 5 + 5 + 4 = 17 3 770 → 3 + 7 + 7 + 0 = 17
515 → 5 + 1 + 5 = 11 4 023 → 4 + 0 + 2 + 3 = 9
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 7 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 18
Une seule solution : 567.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 819, somme des chiffres 18.
« 3 est un diviseur de 65. » Faux. 65 = 3 × 21 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 55 − 9 + 12 = 46 + 12 = 58
B = 54 ÷ 9 × 2 = 6 × 2 = 12
C = (3 × 8 − 2) ÷ 4 = (24 − 2) ÷ 4 = 22 ÷ 4 = 5,5
D = 4,2 + 4 × 1,2 = 4,2 + 4,8 = 9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + (3 + 7) × 9 = 5 + 10 × 9 = 5 + 90 = 95
4 × (2 + 3 − 4) = 4 × (5 − 4) = 4 × 1 = 4
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 1,3 + 3,6 × 8,7 = 3,6 × (1,3 + 8,7) = 3,6 × 10 = 36
F = 15 × 11 = 15 × (10 + 1) = 15 × 10 + 15 × 1 = 150 + 15 = 165
G = 5 × 15 × 20 = 5 × 20 × 15 = 100 × 15 = 1 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 11 × 11 = 11²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (2 + 1)² = 2² + 1² » Faux. (2 + 1)² = 3² = 9, alors que 2² + 1² = 4 + 1 = 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
100 = 10² : carré 113 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 113 < 121 = 11²)
129 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 129 < 144 = 12²) 146 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 146 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 4 = 5 × 25 − 4 = 125 − 4 = 121
B = (5 × 5)² − 4 = 25² − 4 = 625 − 4 = 621
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 4 : x³ + 8 = 4³ + 8 = 64 + 8 = 72
Pour x = 10 : x³ + 8 = 10³ + 8 = 1 000 + 8 = 1 008
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 111 et 160. » → encore 48 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.