Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (27 + 27) ÷ 3 = 54 ÷ 3 = 18
B = 27 + 27 ÷ 3 = 27 + 9 = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 2.
D = (15 + 30) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 15 et 30 par 9.
E = 4 × (10 − 4) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 10 et 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 126 = 882 ≤ 883 < 889 = 7 × 127 : le quotient est 126, le reste 883 − 882 = 1.
883 = 7 × 126 + 1, avec 1 < 7.
21 × 114 = 2 394 ≤ 2 395 < 2 415 = 21 × 115 : le quotient est 114, le reste 2 395 − 2 394 = 1.
2 395 = 21 × 114 + 1, avec 1 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 138 = 12 × 12 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 138 = 12 × 11 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 138 = 12 × 10 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 11, reste 6.
Comme 6 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 138 par 11 : quotient 12, reste 6.
3. 101 = 16 × 6 + 5
6 minibus pleins transportent 96 élèves ; il en reste 5 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 5 = 11 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 505 | non | non | oui | non | non |
| 8 199 | non | oui | non | oui | non |
| 9 982 | oui | non | non | non | non |
| 2 300 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
591 → 5 + 9 + 1 = 15 505 → 5 + 0 + 5 = 10 8 199 → 8 + 1 + 9 + 9 = 27
9 982 → 9 + 9 + 8 + 2 = 28 2 300 → 2 + 3 + 0 + 0 = 5
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 2 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 720.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 96 est divisible par 3 (96 = 3 × 32) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 104. » Vrai. 104 = 4 × 26 : le reste de la division de 104 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 31 − 9 + 5 = 22 + 5 = 27
B = 15 + 18 ÷ 6 × 2 = 15 + 3 × 2 = 15 + 6 = 21
C = 74 − 2 × (14 − 4) = 74 − 2 × 10 = 74 − 20 = 54
D = [8 + 5 × (12 − 4)] ÷ 2 = [8 + 5 × 8] ÷ 2 = [8 + 40] ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × 6 − (9 + 7) = 4 × 6 − 16 = 24 − 16 = 8
(5 − 3 + 8) × 7 = (2 + 8) × 7 = 10 × 7 = 70
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 40 × 125 = 8 × 125 × 40 = 1 000 × 40 = 40 000
F = 31 × 101 = 31 × (100 + 1) = 31 × 100 + 31 × 1 = 3 100 + 31 = 3 131
G = 43 × 73 + 43 × 27 = 43 × (73 + 27) = 43 × 100 = 4 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 12 × 12 = 12² 6 × 6 × 6 = 6³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
15 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 15 < 16 = 4²) 36 = 6² : carré
49 = 7² : carré 92 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 92 < 100 = 10²)
138 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 138 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 5 = 2 × 4 − 5 = 8 − 5 = 3
B = (2 × 2)² − 5 = 4² − 5 = 16 − 5 = 11
C = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
D = (4 + 5)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 8 : n² + 6 = 8² + 6 = 64 + 6 = 70 et 7n = 7 × 8 = 56.
70 ≠ 56 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Pour n = 6 : n² + 6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42 et 7n = 7 × 6 = 42.
42 = 42 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 6 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 7 petits cubes sur 7 : 7² = 7 × 7 = 49.
a) On voit 49 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 7 couches de 49 petits cubes : 7³ = 7 × 7 × 7 = 343.
b) Il a utilisé 343 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 7 − 2 = 5 petits cubes d'arête. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
c) 125 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 70 et 131. » → encore 60 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100, 121.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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