Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 5)² = 9² = 81
B = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4² − 8 est une différence : c'est la différence entre le carré de 4 et 8.
D = 14 + 9 × 3 est une somme : c'est la somme de 14 et du produit de 9 par 3.
E = (6 + 8) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 6 et 8 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 253 = 759 ≤ 761 < 762 = 3 × 254 : le quotient est 253, le reste 761 − 759 = 2.
761 = 3 × 253 + 2, avec 2 < 3.
19 × 75 = 1 425 ≤ 1 438 < 1 444 = 19 × 76 : le quotient est 75, le reste 1 438 − 1 425 = 13.
1 438 = 19 × 75 + 13, avec 13 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 137 = 13 × 9 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 137 = 13 × 10 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 13. ✔
(c) 137 = 13 × 11 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 10, reste 7.
Comme 7 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 137 par 10 : quotient 13, reste 7.
3. 30 = 7 × 4 + 2
a) 30 jours font 4 semaines complètes et 2 jours.
Après 4 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 2 jours : mercredi → jeudi → vendredi.
b) Dans 30 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 310 | oui | non | oui | non | oui |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 4 977 | non | oui | non | oui | non |
| 595 | non | non | oui | non | non |
| 4 766 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
1 310 → 1 + 3 + 1 + 0 = 5 537 → 5 + 3 + 7 = 15 4 977 → 4 + 9 + 7 + 7 = 27
595 → 5 + 9 + 5 = 19 4 766 → 4 + 7 + 6 + 6 = 23
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 4 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 8 : 21
2 solutions : 942, 948.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 53 se termine par 3, mais 53 = 3 × 17 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 6 est un diviseur de 138. » Vrai. 138 = 6 × 23 : le reste de la division de 138 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 40 − 9 + 8 = 31 + 8 = 39
B = 19 + 12 ÷ 3 × 4 = 19 + 4 × 4 = 19 + 16 = 35
C = 79 − 4 × (19 − 4) = 79 − 4 × 15 = 79 − 60 = 19
D = 6,5 + 3 × 1,2 = 6,5 + 3,6 = 10,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + 7 − (7 − 5) = 7 + 7 − 2 = 14 − 2 = 12
7 + (9 + 7) × 3 = 7 + 16 × 3 = 7 + 48 = 55
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 47 × 11 = 47 × (10 + 1) = 47 × 10 + 47 × 1 = 470 + 47 = 517
G = 23 + 7,8 + 77 = 23 + 77 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 10 × 10 = 10² 3 × 3 × 3 = 3³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 36 = 6² : carré
39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²) 52 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 52 < 64 = 8²)
80 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 80 < 81 = 9²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 4 = 2 × 36 − 4 = 72 − 4 = 68
B = (2 × 6)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 3 : x² + 18 = 3² + 18 = 9 + 18 = 27 et 9x = 9 × 3 = 27.
27 = 27 : l'égalité est vraie pour x = 3.
Pour x = 5 : x² + 18 = 5² + 18 = 25 + 18 = 43 et 9x = 9 × 5 = 45.
43 ≠ 45 : l'égalité est fausse pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 6, et seulement pour 3 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 4² = π × 16 = 16π
a) L'aire exacte est 16π m².
16 × 3,14 = 50,24
b) L'aire vaut environ 50 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 4², et non (π × 4)². On élève 4 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 229 et 293. » → encore 63 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 256.
Le nombre mystère est 256 (256 = 16²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.