Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 4) × 6 = 9 × 6 = 54
B = 5 + 4 × 6 = 5 + 24 = 29
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 10 + 2 × 6 est une somme : c'est la somme de 10 et du produit de 2 par 6.
D = 2 × 5² − 17 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 5 et 17.
E = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 82 = 574 ≤ 575 < 581 = 7 × 83 : le quotient est 82, le reste 575 − 574 = 1.
575 = 7 × 82 + 1, avec 1 < 7.
18 × 28 = 504 ≤ 514 < 522 = 18 × 29 : le quotient est 28, le reste 514 − 504 = 10.
514 = 18 × 28 + 10, avec 10 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 266 = 12 × 22 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 266 = 12 × 21 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 266 = 12 × 23 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 22, reste 2.
Comme 2 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 266 par 22 : quotient 12, reste 2.
3. 235 = 6 × 39 + 1, avec 1 < 6
a) Elle remplit 39 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 270 | oui | non | oui | non | oui |
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 8 667 | non | oui | non | oui | non |
| 8 392 | oui | non | non | non | non |
| 185 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
5 270 → 5 + 2 + 7 + 0 = 14 717 → 7 + 1 + 7 = 15 8 667 → 8 + 6 + 6 + 7 = 27
8 392 → 8 + 3 + 9 + 2 = 22 185 → 1 + 8 + 5 = 14
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 5 + □ = 14 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 954.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 387, somme des chiffres 18.
« 94 est un multiple de 4. » Faux. 94 = 4 × 23 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 57 − 2 × 5 = 57 − 10 = 47
B = 12 + 56 ÷ 7 × 4 = 12 + 8 × 4 = 12 + 32 = 44
C = 85 − 2 × (10 − 7) = 85 − 2 × 3 = 85 − 6 = 79
D = [5 + 9 × (8 − 4)] ÷ 5 = [5 + 9 × 4] ÷ 5 = [5 + 36] ÷ 5 = 41 ÷ 5 = 8,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (9 + 2 × 2) = 9 × (9 + 4) = 9 × 13 = 117
6 × (4 × 9 − 5) = 6 × (36 − 5) = 6 × 31 = 186
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 34 + 5,05 + 66 = 34 + 66 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 44 × 37 + 44 × 63 = 44 × (37 + 63) = 44 × 100 = 4 400
G = 45 × 9 = 45 × (10 − 1) = 45 × 10 − 45 × 1 = 450 − 45 = 405
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 9 × 9 = 9²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (3 + 1)² = 3² + 1² » Faux. (3 + 1)² = 4² = 16, alors que 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
24 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 24 < 25 = 5²) 27 = 3³ : cube
36 = 6² : carré 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 4 = 5 × 36 − 4 = 180 − 4 = 176
B = (5 × 6)² − 4 = 30² − 4 = 900 − 4 = 896
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 4 : n² + 4 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20 et 5n = 5 × 4 = 20.
20 = 20 : l'égalité est vraie pour n = 4.
Pour n = 2 : n² + 4 = 2² + 4 = 4 + 4 = 8 et 5n = 5 × 2 = 10.
8 ≠ 10 : l'égalité est fausse pour n = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 4 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 2² = π × 4 = 4π
a) L'aire exacte est 4π m².
4 × 3,14 = 12,56
b) L'aire vaut environ 13 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 2², et non (π × 2)². On élève 2 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 37. » → encore 35 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 9, 25.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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