Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (18 + 12) ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15
B = 18 + 12 ÷ 2 = 18 + 6 = 24
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 4² − 13 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 4 et 13.
D = (6 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 1.
E = 4 + 8 × 5 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 8 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 42 = 294 ≤ 300 < 301 = 7 × 43 : le quotient est 42, le reste 300 − 294 = 6.
300 = 7 × 42 + 6, avec 6 < 7.
28 × 42 = 1 176 ≤ 1 195 < 1 204 = 28 × 43 : le quotient est 42, le reste 1 195 − 1 176 = 19.
1 195 = 28 × 42 + 19, avec 19 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 259 = 13 × 20 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 259 = 13 × 19 + 12 : le reste 12 est bien inférieur à 13. ✔
(c) 259 = 13 × 18 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 19, reste 12.
Comme 12 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 259 par 19 : quotient 13, reste 12.
3. 61 = 9 × 6 + 7
6 minibus pleins transportent 54 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 7 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 090 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 338 | oui | non | non | non | non |
| 575 | non | non | oui | non | non |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 7 047 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
7 090 → 7 + 0 + 9 + 0 = 16 3 338 → 3 + 3 + 3 + 8 = 17 575 → 5 + 7 + 5 = 17
681 → 6 + 8 + 1 = 15 7 047 → 7 + 0 + 4 + 7 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 0 + □ = 8 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 12
Une seule solution : 804.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 15 est divisible par 3 (15 = 3 × 5) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 142 est un multiple de 7. » Faux. 142 = 7 × 20 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 3 + 6 × 8 = 3 + 48 = 51
B = 18 ÷ 2 × 4 = 9 × 4 = 36
C = (4 × 3 − 7) ÷ 2 = (12 − 7) ÷ 2 = 5 ÷ 2 = 2,5
D = 3 × [36 − (2 + 2)] = 3 × [36 − 4] = 3 × 32 = 96
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 − 5 + 5) × 3 = (3 + 5) × 3 = 8 × 3 = 24
3 × (5 + 8) + 8 = 3 × 13 + 8 = 39 + 8 = 47
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 28 − 45 × 18 = 45 × (28 − 18) = 45 × 10 = 450
F = 14 × 9 = 14 × (10 − 1) = 14 × 10 − 14 × 1 = 140 − 14 = 126
G = 30 + 5,05 + 70 = 30 + 70 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 7 × 7 = 7² 2 × 2 × 2 = 2³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (2 + 1)² = 2² + 1² » Faux. (2 + 1)² = 3² = 9, alors que 2² + 1² = 4 + 1 = 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 102 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 102 < 121 = 11²)
127 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 127 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 1 = 2 × 25 − 1 = 50 − 1 = 49
B = (2 × 5)² − 1 = 10² − 1 = 100 − 1 = 99
C = 3² + 7² = 9 + 49 = 58
D = (3 + 7)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 12 = 1² + 12 = 1 + 12 = 13 et 8n = 8 × 1 = 8.
13 ≠ 8 : l'égalité est fausse pour n = 1.
Pour n = 6 : n² + 12 = 6² + 12 = 36 + 12 = 48 et 8n = 8 × 6 = 48.
48 = 48 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 2, et seulement pour 6 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 85 et 127. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.