Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 7 + 2 × 5 = 7 + 10 = 17
B = (7 + 2) × 5 = 9 × 5 = 45
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6 + 54 ÷ 9 est une somme : c'est la somme de 6 et du quotient de 54 par 9.
D = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
E = 3 × 8² − 12 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 8 et 12.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 46 = 322 ≤ 325 < 329 = 7 × 47 : le quotient est 46, le reste 325 − 322 = 3.
325 = 7 × 46 + 3, avec 3 < 7.
18 × 80 = 1 440 ≤ 1 441 < 1 458 = 18 × 81 : le quotient est 80, le reste 1 441 − 1 440 = 1.
1 441 = 18 × 80 + 1, avec 1 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 259 = 12 × 22 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 259 = 12 × 21 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 259 = 12 × 20 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 21, reste 7.
Comme 7 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 259 par 21 : quotient 12, reste 7.
3. 105 = 20 × 5 + 5
En 5 soirs, elle lit 100 pages ; il lui en reste encore 5.
a) Il lui faut 5 + 1 = 6 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 5 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 940 | oui | non | oui | non | oui |
| 987 | non | oui | non | non | non |
| 7 821 | non | oui | non | oui | non |
| 275 | non | non | oui | non | non |
| 7 856 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 940 → 3 + 9 + 4 + 0 = 16 987 → 9 + 8 + 7 = 24 7 821 → 7 + 8 + 2 + 1 = 18
275 → 2 + 7 + 5 = 14 7 856 → 7 + 8 + 5 + 6 = 26
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 0 = 2 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 7 : 9
Une seule solution : 270.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 30 est divisible par 3 (30 = 3 × 10) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 35 est un multiple de 3. » Faux. 35 = 3 × 11 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 2 + 6 × 5 = 2 + 30 = 32
B = 7 × 9 − 5 × 5 = 63 − 25 = 38
C = (6 × 4 − 7) ÷ 5 = (24 − 7) ÷ 5 = 17 ÷ 5 = 3,4
D = 6,7 + 3 × 0,2 = 6,7 + 0,6 = 7,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 3) × 6 × 2 = 5 × 6 × 2 = 30 × 2 = 60
(7 + 4 + 5) × 8 = (11 + 5) × 8 = 16 × 8 = 128
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 48 × 99 = 48 × (100 − 1) = 48 × 100 − 48 × 1 = 4 800 − 48 = 4 752
F = 4,5 × 1,3 + 4,5 × 8,7 = 4,5 × (1,3 + 8,7) = 4,5 × 10 = 45
G = 4 × 68 × 25 = 4 × 25 × 68 = 100 × 68 = 6 800
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 × 3 = 3³ 9 × 9 = 9²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
40 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 40 < 49 = 7²) 56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
100 = 10² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 1 = 5 × 9 − 1 = 45 − 1 = 44
B = (5 × 3)² − 1 = 15² − 1 = 225 − 1 = 224
C = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
D = (2 + 3)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 6 = 3 × 4² − 6 = 3 × 16 − 6 = 48 − 6 = 42
B = (3a)² − 6 = (3 × 4)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 89 :
9² = 81 ≤ 89 et 10² = 100 > 89.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
89 − 81 = 8
b) Il lui restera 8 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 24 et 76. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 27, 64.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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