Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 15 + 15 ÷ 3 = 15 + 5 = 20
B = (15 + 15) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 9) × 5 est un produit : c'est le produit de la somme de 2 et 9 par 5.
D = 9 + 3 × 9 est une somme : c'est la somme de 9 et du produit de 3 par 9.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 59 = 472 ≤ 476 < 480 = 8 × 60 : le quotient est 59, le reste 476 − 472 = 4.
476 = 8 × 59 + 4, avec 4 < 8.
12 × 59 = 708 ≤ 714 < 720 = 12 × 60 : le quotient est 59, le reste 714 − 708 = 6.
714 = 12 × 59 + 6, avec 6 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 217 = 8 × 28 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 217 = 8 × 26 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 217 = 8 × 27 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 27, reste 1.
Comme 1 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 217 par 27 : quotient 8, reste 1.
3. 339 = 7 × 48 + 3
a) 339 jours font 48 semaines complètes et 3 jours.
Après 48 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 3 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi.
b) Dans 339 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 8 840 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 506 | oui | non | non | non | non |
| 3 051 | non | oui | non | oui | non |
| 201 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
565 → 5 + 6 + 5 = 16 8 840 → 8 + 8 + 4 + 0 = 20 2 506 → 2 + 5 + 0 + 6 = 13
3 051 → 3 + 0 + 5 + 1 = 9 201 → 2 + 0 + 1 = 3
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 7 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15 ; □ = 6 : 21
2 solutions : 870, 876.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 159 est un multiple de 8. » Faux. 159 = 8 × 19 + 7 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 61 − 4 × 2 = 61 − 8 = 53
B = 3 × 4 − 3 × 3 = 12 − 9 = 3
C = (4 × 8 − 6) ÷ 4 = (32 − 6) ÷ 4 = 26 ÷ 4 = 6,5
D = 5 × [24 − (5 + 5)] = 5 × [24 − 10] = 5 × 14 = 70
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (5 + 8 + 4) = 3 × (13 + 4) = 3 × 17 = 51
4 + 6 − (3 + 6) = 4 + 6 − 9 = 10 − 9 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 13 × 99 = 13 × (100 − 1) = 13 × 100 − 13 × 1 = 1 300 − 13 = 1 287
F = 16 × 57 + 16 × 43 = 16 × (57 + 43) = 16 × 100 = 1 600
G = 4 × 76 × 25 = 4 × 25 × 76 = 100 × 76 = 7 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 12 × 12 = 12² 2 × 2 × 2 = 2³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 3 × 4² = 12² » Faux. 3 × 4² = 3 × 16 = 48, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 11 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 11 < 16 = 4²)
36 = 6² : carré 48 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 48 < 49 = 7²)
81 = 9² : carré 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 4 = 3 × 36 − 4 = 108 − 4 = 104
B = (3 × 6)² − 4 = 18² − 4 = 324 − 4 = 320
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : (a + 4)² = (5 + 4)² = 9² = 81
Pour a = 0,5 : (a + 4)² = (0,5 + 4)² = 4,5² = 20,25
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 57 :
7² = 49 ≤ 57 et 8² = 64 > 57.
a) Elle mettra 7 dalles sur chaque côté.
57 − 49 = 8
b) Il lui restera 8 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 152 et 203. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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