Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (1 + 6)² = 7² = 49
B = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 + 12 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 5 et du quotient de 12 par 4.
D = (7 + 2) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 7 et 2 par 7.
E = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 216 = 864 ≤ 866 < 868 = 4 × 217 : le quotient est 216, le reste 866 − 864 = 2.
866 = 4 × 216 + 2, avec 2 < 4.
13 × 50 = 650 ≤ 659 < 663 = 13 × 51 : le quotient est 50, le reste 659 − 650 = 9.
659 = 13 × 50 + 9, avec 9 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 272 = 10 × 26 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 272 = 10 × 27 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 272 = 10 × 28 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 27, reste 2.
Comme 2 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 272 par 27 : quotient 10, reste 2.
3. 95 = 7 × 13 + 4
a) 95 jours font 13 semaines complètes et 4 jours.
Après 13 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 4 jours : vendredi → samedi → dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 95 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 086 | oui | non | non | non | non |
| 395 | non | non | oui | non | non |
| 6 507 | non | oui | non | oui | non |
| 7 770 | oui | oui | oui | non | oui |
| 957 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
2 086 → 2 + 0 + 8 + 6 = 16 395 → 3 + 9 + 5 = 17 6 507 → 6 + 5 + 0 + 7 = 18
7 770 → 7 + 7 + 7 + 0 = 21 957 → 9 + 5 + 7 = 21
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 1 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 801, 891.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 94 est pair mais 94 = 3 × 31 + 1.
« 6 est un diviseur de 66. » Vrai. 66 = 6 × 11 : le reste de la division de 66 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 8 + 8 × 4 = 8 + 32 = 40
B = 15 + 28 ÷ 4 × 4 = 15 + 7 × 4 = 15 + 28 = 43
C = (6 × 5 − 3) ÷ 5 = (30 − 3) ÷ 5 = 27 ÷ 5 = 5,4
D = 3 × [20 − (6 + 2)] = 3 × [20 − 8] = 3 × 12 = 36
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + 9 × (6 − 5) = 6 + 9 × 1 = 6 + 9 = 15
3 × 6 − (3 + 5) = 3 × 6 − 8 = 18 − 8 = 10
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 60 + 7,8 + 40 = 60 + 40 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 43 × 11 = 43 × (10 + 1) = 43 × 10 + 43 × 1 = 430 + 43 = 473
G = 35 × 84 − 35 × 74 = 35 × (84 − 74) = 35 × 10 = 350
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³ 9 × 9 = 9²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« (5 + 2)² = 5² + 2² » Faux. (5 + 2)² = 7² = 49, alors que 5² + 2² = 25 + 4 = 29.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
100 = 10² : carré 121 = 11² : carré
133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 4 = 4 × 25 − 4 = 100 − 4 = 96
B = (4 × 5)² − 4 = 20² − 4 = 400 − 4 = 396
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 6 = 2² + 6 = 4 + 6 = 10 et 7x = 7 × 2 = 14.
10 ≠ 14 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Pour x = 1 : x² + 6 = 1² + 6 = 1 + 6 = 7 et 7x = 7 × 1 = 7.
7 = 7 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 6, et seulement pour 1 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 53. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16, 36.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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