Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 22 − 3 × 7 est une différence : c'est la différence entre 22 et le produit de 3 par 7.
D = 2 × 6² est un produit : c'est le double du carré de 6.
E = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 103 = 412 ≤ 413 < 416 = 4 × 104 : le quotient est 103, le reste 413 − 412 = 1.
413 = 4 × 103 + 1, avec 1 < 4.
15 × 159 = 2 385 ≤ 2 398 < 2 400 = 15 × 160 : le quotient est 159, le reste 2 398 − 2 385 = 13.
2 398 = 15 × 159 + 13, avec 13 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 175 = 15 × 10 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 175 = 15 × 11 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 15. ✔
(c) 175 = 15 × 12 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 11, reste 10.
Comme 10 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 175 par 11 : quotient 15, reste 10.
3. 40 = 7 × 5 + 5
a) 40 jours font 5 semaines complètes et 5 jours.
Après 5 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 5 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 40 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 415 | non | non | oui | non | non |
| 7 533 | non | oui | non | oui | non |
| 8 132 | oui | non | non | non | non |
| 4 960 | oui | non | oui | non | oui |
| 807 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
415 → 4 + 1 + 5 = 10 7 533 → 7 + 5 + 3 + 3 = 18 8 132 → 8 + 1 + 3 + 2 = 14
4 960 → 4 + 9 + 6 + 0 = 19 807 → 8 + 0 + 7 = 15
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 9 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 129, 159, 189.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 40 est pair mais 40 = 3 × 13 + 1.
« 144 est un multiple de 9. » Vrai. 144 = 9 × 16 : le reste de la division de 144 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 61 − 2 × 2 = 61 − 4 = 57
B = 20 ÷ 4 × 3 = 5 × 3 = 15
C = 66 − 2 × (19 − 5) = 66 − 2 × 14 = 66 − 28 = 38
D = [3 + 8 × (12 − 4)] ÷ 2 = [3 + 8 × 8] ÷ 2 = [3 + 64] ÷ 2 = 67 ÷ 2 = 33,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 4) × 6 − 3 = 9 × 6 − 3 = 54 − 3 = 51
2 + (5 + 4) × 6 = 2 + 9 × 6 = 2 + 54 = 56
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
F = 2 × 32 × 50 = 2 × 50 × 32 = 100 × 32 = 3 200
G = 12 × 11 = 12 × (10 + 1) = 12 × 10 + 12 × 1 = 120 + 12 = 132
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 11 × 11 = 11² 1,1 × 1,1 = 1,1²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 4 × 6² = 24² » Faux. 4 × 6² = 4 × 36 = 144, alors que 24² = 576. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 20 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 20 < 25 = 5²)
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 98 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 98 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 9 = 4 × 4 − 9 = 16 − 9 = 7
B = (4 × 2)² − 9 = 8² − 9 = 64 − 9 = 55
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : 2a³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 64 : 8 × 8 = 64, c'est-à-dire 8² = 64.
a) Le côté mesure 8 m.
4 × 8 = 32
b) Le périmètre est de 32 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 31 et 81. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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