Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
B = (2 × 4)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8 × (10 − 8) est un produit : c'est le produit de 8 par la différence entre 10 et 8.
D = 24 − 3 × 2 est une différence : c'est la différence entre 24 et le produit de 3 par 2.
E = 7² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 7 et de 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 75 = 675 ≤ 679 < 684 = 9 × 76 : le quotient est 75, le reste 679 − 675 = 4.
679 = 9 × 75 + 4, avec 4 < 9.
14 × 86 = 1 204 ≤ 1 214 < 1 218 = 14 × 87 : le quotient est 86, le reste 1 214 − 1 204 = 10.
1 214 = 14 × 86 + 10, avec 10 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 175 = 15 × 11 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 175 = 15 × 10 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 175 = 15 × 12 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 11, reste 10.
Comme 10 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 175 par 11 : quotient 15, reste 10.
3. 30 = 9 × 3 + 3
3 minibus pleins transportent 27 élèves ; il en reste 3 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 3 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 101 | non | oui | non | oui | non |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 9 604 | oui | non | non | non | non |
| 5 070 | oui | oui | oui | non | oui |
| 815 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
7 101 → 7 + 1 + 0 + 1 = 9 537 → 5 + 3 + 7 = 15 9 604 → 9 + 6 + 0 + 4 = 19
5 070 → 5 + 0 + 7 + 0 = 12 815 → 8 + 1 + 5 = 14
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 1 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3 ; □ = 6 : 9
2 solutions : 210, 216.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 50 est pair mais 50 = 3 × 16 + 2.
« 5 est un diviseur de 114. » Faux. 114 = 5 × 22 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 10 + 9 × 3 = 10 + 27 = 37
B = 54 ÷ 6 × 4 = 9 × 4 = 36
C = (6 × 8 − 6) ÷ 2 = (48 − 6) ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21
D = 6,3 + 6 × 0,5 = 6,3 + 3 = 9,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (6 − 4) × 8 = 8 × 2 × 8 = 16 × 8 = 128
5 × (5 + 2) − 9 = 5 × 7 − 9 = 35 − 9 = 26
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 76 × 25 = 4 × 25 × 76 = 100 × 76 = 7 600
F = 31 × 27 + 31 × 73 = 31 × (27 + 73) = 31 × 100 = 3 100
G = 43 × 99 = 43 × (100 − 1) = 43 × 100 − 43 × 1 = 4 300 − 43 = 4 257
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 3 × 3 = 3² 1,1 × 1,1 = 1,1²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (4 + 1)² = 4² + 1² » Faux. (4 + 1)² = 5² = 25, alors que 4² + 1² = 16 + 1 = 17.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
27 = 3³ : cube 28 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 28 < 36 = 6²)
63 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 63 < 64 = 8²) 103 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 103 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 6 = 4 × 36 − 6 = 144 − 6 = 138
B = (4 × 6)² − 6 = 24² − 6 = 576 − 6 = 570
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : 7a² = 7 × 5² = 7 × 25 = 175
Pour a = 10 : 7a² = 7 × 10² = 7 × 100 = 700
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 29 :
5² = 25 ≤ 29 et 6² = 36 > 29.
a) Elle mettra 5 dalles sur chaque côté.
29 − 25 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 60 et 119. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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