Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (9 + 15) ÷ 3 = 24 ÷ 3 = 8
B = 9 + 15 ÷ 3 = 9 + 5 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 × (18 − 9) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 18 et 9.
D = 2 × 7² − 19 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 7 et 19.
E = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 39 = 312 ≤ 317 < 320 = 8 × 40 : le quotient est 39, le reste 317 − 312 = 5.
317 = 8 × 39 + 5, avec 5 < 8.
13 × 125 = 1 625 ≤ 1 636 < 1 638 = 13 × 126 : le quotient est 125, le reste 1 636 − 1 625 = 11.
1 636 = 13 × 125 + 11, avec 11 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 514 = 14 × 37 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 514 = 14 × 35 + 24 : le « reste » 24 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 514 = 14 × 36 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 36, reste 10.
Comme 10 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 514 par 36 : quotient 14, reste 10.
3. 215 = 7 × 30 + 5
a) 215 jours font 30 semaines complètes et 5 jours.
Après 30 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 5 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche → lundi.
b) Dans 215 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 353 | non | oui | non | oui | non |
| 2 078 | oui | non | non | non | non |
| 861 | non | oui | non | non | non |
| 6 450 | oui | oui | oui | non | oui |
| 365 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
7 353 → 7 + 3 + 5 + 3 = 18 2 078 → 2 + 0 + 7 + 8 = 17 861 → 8 + 6 + 1 = 15
6 450 → 6 + 4 + 5 + 0 = 15 365 → 3 + 6 + 5 = 14
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 2 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 342.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 14 est pair mais 14 = 3 × 4 + 2.
« 8 est un diviseur de 184. » Vrai. 184 = 8 × 23 : le reste de la division de 184 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 28 − 2 + 2 = 26 + 2 = 28
B = 18 ÷ 6 × 4 = 3 × 4 = 12
C = (4 × 5 − 1) ÷ 2 = (20 − 1) ÷ 2 = 19 ÷ 2 = 9,5
D = [6 + 3 × (11 − 4)] ÷ 5 = [6 + 3 × 7] ÷ 5 = [6 + 21] ÷ 5 = 27 ÷ 5 = 5,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (7 + 8 + 9) = 4 × (15 + 9) = 4 × 24 = 96
2 × (8 × 4 − 8) = 2 × (32 − 8) = 2 × 24 = 48
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 37 × 11 = 37 × (10 + 1) = 37 × 10 + 37 × 1 = 370 + 37 = 407
F = 65 + 5,05 + 35 = 65 + 35 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 29 × 31 + 29 × 69 = 29 × (31 + 69) = 29 × 100 = 2 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 5 × 5 × 5 = 5³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« (3 + 2)² = 3² + 2² » Faux. (3 + 2)² = 5² = 25, alors que 3² + 2² = 9 + 4 = 13.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 17 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 17 < 25 = 5²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 3 = 4 × 36 − 3 = 144 − 3 = 141
B = (4 × 6)² − 3 = 24² − 3 = 576 − 3 = 573
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 12 = 2² + 12 = 4 + 12 = 16 et 8n = 8 × 2 = 16.
16 = 16 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 1 : n² + 12 = 1² + 12 = 1 + 12 = 13 et 8n = 8 × 1 = 8.
13 ≠ 8 : l'égalité est fausse pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 6, et seulement pour 2 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
2 × 2 = 4
a) Il faut 4 carreaux le long d'un côté.
4 rangées de 4 carreaux : 4² = 4 × 4 = 16
b) Il faut 16 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 35 et 66. » → encore 30 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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