Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 25 − 4 × 5 = 25 − 20 = 5
B = (25 − 4) × 5 = 21 × 5 = 105
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
D = (20 + 10) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 20 et 10 par 5.
E = 1² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 118 = 826 ≤ 832 < 833 = 7 × 119 : le quotient est 118, le reste 832 − 826 = 6.
832 = 7 × 118 + 6, avec 6 < 7.
16 × 77 = 1 232 ≤ 1 233 < 1 248 = 16 × 78 : le quotient est 77, le reste 1 233 − 1 232 = 1.
1 233 = 16 × 77 + 1, avec 1 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 532 = 15 × 35 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 532 = 15 × 34 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 532 = 15 × 36 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 35, reste 7.
Comme 7 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 532 par 35 : quotient 15, reste 7.
3. 255 = 30 × 8 + 15
En 8 soirs, elle lit 240 pages ; il lui en reste encore 15.
a) Il lui faut 8 + 1 = 9 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 15 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 237 | non | oui | non | non | non |
| 9 320 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 993 | non | oui | non | oui | non |
| 9 862 | oui | non | non | non | non |
| 455 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
237 → 2 + 3 + 7 = 12 9 320 → 9 + 3 + 2 + 0 = 14 6 993 → 6 + 9 + 9 + 3 = 27
9 862 → 9 + 8 + 6 + 2 = 25 455 → 4 + 5 + 5 = 14
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 6 + 6 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 660.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 96 est divisible par 3 (96 = 3 × 32) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 114 est un multiple de 6. » Vrai. 114 = 6 × 19 : le reste de la division de 114 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 74 − 2 × 8 = 74 − 16 = 58
B = 4 × 8 − 5 × 2 = 32 − 10 = 22
C = (7 × 5 − 7) ÷ 2 = (35 − 7) ÷ 2 = 28 ÷ 2 = 14
D = 6,6 + 5 × 2,5 = 6,6 + 12,5 = 19,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 6 × (8 − 5) = 9 + 6 × 3 = 9 + 18 = 27
5 + 6 − (7 − 3) = 5 + 6 − 4 = 11 − 4 = 7
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 9 = 42 × (10 − 1) = 42 × 10 − 42 × 1 = 420 − 42 = 378
F = 41 + 7,8 + 59 = 41 + 59 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 22 × 73 − 22 × 63 = 22 × (73 − 63) = 22 × 10 = 220
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 0,7 × 0,7 = 0,7² 5 × 5 = 5²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
33 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 33 < 36 = 6²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 6 = 2 × 9 − 6 = 18 − 6 = 12
B = (2 × 3)² − 6 = 6² − 6 = 36 − 6 = 30
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 8 = 2² + 8 = 4 + 8 = 12 et 6n = 6 × 2 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 6 : n² + 8 = 6² + 8 = 36 + 8 = 44 et 6n = 6 × 6 = 36.
44 ≠ 36 : l'égalité est fausse pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 2 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
5 × 4 = 20
a) Il faut 20 carreaux le long d'un côté.
20 rangées de 20 carreaux : 20² = 20 × 20 = 400
b) Il faut 400 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 33. » → encore 31 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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