Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (19 − 6) × 2 = 13 × 2 = 26
B = 19 − 6 × 2 = 19 − 12 = 7
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
D = 12 + 2 × 3 est une somme : c'est la somme de 12 et du produit de 2 par 3.
E = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 233 = 699 ≤ 700 < 702 = 3 × 234 : le quotient est 233, le reste 700 − 699 = 1.
700 = 3 × 233 + 1, avec 1 < 3.
12 × 115 = 1 380 ≤ 1 381 < 1 392 = 12 × 116 : le quotient est 115, le reste 1 381 − 1 380 = 1.
1 381 = 12 × 115 + 1, avec 1 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 182 = 9 × 21 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 182 = 9 × 19 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 182 = 9 × 20 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 9. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 20, reste 2.
Comme 2 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 182 par 20 : quotient 9, reste 2.
3. 110 = 15 × 7 + 5
En 7 soirs, elle lit 105 pages ; il lui en reste encore 5.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 5 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 980 | oui | oui | oui | non | oui |
| 771 | non | oui | non | non | non |
| 145 | non | non | oui | non | non |
| 2 818 | oui | non | non | non | non |
| 1 917 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
4 980 → 4 + 9 + 8 + 0 = 21 771 → 7 + 7 + 1 = 15 145 → 1 + 4 + 5 = 10
2 818 → 2 + 8 + 1 + 8 = 19 1 917 → 1 + 9 + 1 + 7 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 7 + □ = 14 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 774.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 864, somme des chiffres 18.
« 224 est un multiple de 8. » Vrai. 224 = 8 × 28 : le reste de la division de 224 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 28 + 3 × 7 = 28 + 21 = 49
B = 4 × 8 − 5 × 4 = 32 − 20 = 12
C = (7 + 8) × 2 − 2 = 15 × 2 − 2 = 30 − 2 = 28
D = 3,7 + 3 × 1,2 = 3,7 + 3,6 = 7,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 9 + 7) × 9 = (12 + 7) × 9 = 19 × 9 = 171
4 + 6 × (7 + 3) = 4 + 6 × 10 = 4 + 60 = 64
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 × 21 − 41 × 11 = 41 × (21 − 11) = 41 × 10 = 410
F = 26 × 9 = 26 × (10 − 1) = 26 × 10 − 26 × 1 = 260 − 26 = 234
G = 5 × 67 × 20 = 5 × 20 × 67 = 100 × 67 = 6 700
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 1,1 × 1,1 = 1,1² 3 × 3 × 3 = 3³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
54 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 54 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 5 = 3 × 9 − 5 = 27 − 5 = 22
B = (3 × 3)² − 5 = 9² − 5 = 81 − 5 = 76
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 5 = 2 × 5² − 5 = 2 × 25 − 5 = 50 − 5 = 45
B = (2x)² − 5 = (2 × 5)² − 5 = 10² − 5 = 100 − 5 = 95
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
4 × 2 = 8
a) Il faut 8 carreaux le long d'un côté.
8 rangées de 8 carreaux : 8² = 8 × 8 = 64
b) Il faut 64 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 22 et 81. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25, 49.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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