Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (25 − 4) × 4 = 21 × 4 = 84
B = 25 − 4 × 4 = 25 − 16 = 9
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 28 − 4 × 3 est une différence : c'est la différence entre 28 et le produit de 4 par 3.
D = (2 + 10) ÷ 2 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 2 et 10 par 2.
E = 4 + 4 × 3 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 4 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 201 = 804 ≤ 806 < 808 = 4 × 202 : le quotient est 201, le reste 806 − 804 = 2.
806 = 4 × 201 + 2, avec 2 < 4.
22 × 82 = 1 804 ≤ 1 805 < 1 826 = 22 × 83 : le quotient est 82, le reste 1 805 − 1 804 = 1.
1 805 = 22 × 82 + 1, avec 1 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 475 = 15 × 30 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 475 = 15 × 32 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 475 = 15 × 31 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 31, reste 10.
Comme 10 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 475 par 31 : quotient 15, reste 10.
3. 221 = 20 × 11 + 1
En 11 soirs, elle lit 220 pages ; il lui en reste encore 1.
a) Il lui faut 11 + 1 = 12 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 1 page.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 159 | non | oui | non | oui | non |
| 5 348 | oui | non | non | non | non |
| 235 | non | non | oui | non | non |
| 411 | non | oui | non | non | non |
| 2 500 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
3 159 → 3 + 1 + 5 + 9 = 18 5 348 → 5 + 3 + 4 + 8 = 20 235 → 2 + 3 + 5 = 10
411 → 4 + 1 + 1 = 6 2 500 → 2 + 5 + 0 + 0 = 7
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 2 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 702, 792.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 74 est pair mais 74 = 3 × 24 + 2.
« 69 est un multiple de 5. » Faux. 69 = 5 × 13 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 9 + 5 × 8 = 9 + 40 = 49
B = 7 + 36 ÷ 6 × 2 = 7 + 6 × 2 = 7 + 12 = 19
C = (5 × 3 − 5) ÷ 4 = (15 − 5) ÷ 4 = 10 ÷ 4 = 2,5
D = 3,7 + 5 × 1,2 = 3,7 + 6 = 9,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + (2 + 6) × 6 = 5 + 8 × 6 = 5 + 48 = 53
4 × 8 × (9 − 7) = 4 × 8 × 2 = 32 × 2 = 64
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 18 × 11 = 18 × (10 + 1) = 18 × 10 + 18 × 1 = 180 + 18 = 198
F = 49 × 79 + 49 × 21 = 49 × (79 + 21) = 49 × 100 = 4 900
G = 5 × 88 × 20 = 5 × 20 × 88 = 100 × 88 = 8 800
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 0,4 × 0,4 = 0,4² 3 × 3 × 3 = 3³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 24 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 24 < 25 = 5²)
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 1 = 3 × 4 − 1 = 12 − 1 = 11
B = (3 × 2)² − 1 = 6² − 1 = 36 − 1 = 35
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 1 = 4 × 3² − 1 = 4 × 9 − 1 = 36 − 1 = 35
B = (4x)² − 1 = (4 × 3)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 251 et 304. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
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