Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6 + 8 × 5 = 6 + 40 = 46
B = (6 + 8) × 5 = 14 × 5 = 70
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (6 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 2.
D = 18 + 72 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 18 et du quotient de 72 par 8.
E = 4² − 9 est une différence : c'est la différence entre le carré de 4 et 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 39 = 234 ≤ 238 < 240 = 6 × 40 : le quotient est 39, le reste 238 − 234 = 4.
238 = 6 × 39 + 4, avec 4 < 6.
22 × 18 = 396 ≤ 397 < 418 = 22 × 19 : le quotient est 18, le reste 397 − 396 = 1.
397 = 22 × 18 + 1, avec 1 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 130 = 6 × 20 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 130 = 6 × 21 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 130 = 6 × 22 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 21, reste 4.
Comme 4 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 130 par 21 : quotient 6, reste 4.
3. 277 = 7 × 39 + 4
a) 277 jours font 39 semaines complètes et 4 jours.
Après 39 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 4 jours : vendredi → samedi → dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 277 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 430 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 5 769 | non | oui | non | oui | non |
| 6 746 | oui | non | non | non | non |
| 725 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
2 430 → 2 + 4 + 3 + 0 = 9 417 → 4 + 1 + 7 = 12 5 769 → 5 + 7 + 6 + 9 = 27
6 746 → 6 + 7 + 4 + 6 = 23 725 → 7 + 2 + 5 = 14
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 5 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 3 : 15 ; □ = 6 : 18 ; □ = 9 : 21
4 solutions : 705, 735, 765, 795.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 9 est un diviseur de 202. » Faux. 202 = 9 × 22 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 39 − 15 + 2 = 24 + 2 = 26
B = 9 × 7 − 6 × 5 = 63 − 30 = 33
C = 52 − 3 × (14 − 7) = 52 − 3 × 7 = 52 − 21 = 31
D = 4 × [21 − (7 + 3)] = 4 × [21 − 10] = 4 × 11 = 44
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (3 × 6 + 8) = 3 × (18 + 8) = 3 × 26 = 78
2 × (9 − 3) − 4 = 2 × 6 − 4 = 12 − 4 = 8
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 13 × 9 = 13 × (10 − 1) = 13 × 10 − 13 × 1 = 130 − 13 = 117
F = 22 × 81 + 22 × 19 = 22 × (81 + 19) = 22 × 100 = 2 200
G = 34 + 3,45 + 66 = 34 + 66 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 2,5 × 2,5 = 2,5² 2 × 2 × 2 = 2³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (5 + 2)² = 5² + 2² » Faux. (5 + 2)² = 7² = 49, alors que 5² + 2² = 25 + 4 = 29.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
37 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 37 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
100 = 10² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 2 = 4 × 4 − 2 = 16 − 2 = 14
B = (4 × 2)² − 2 = 8² − 2 = 64 − 2 = 62
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 4 = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2x)² − 4 = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 42 et 88. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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