Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3 + 8 × 9 = 3 + 72 = 75
B = (3 + 8) × 9 = 11 × 9 = 99
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 6² est un produit : c'est le double du carré de 6.
D = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
E = 5² − 16 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 16.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 144 = 864 ≤ 865 < 870 = 6 × 145 : le quotient est 144, le reste 865 − 864 = 1.
865 = 6 × 144 + 1, avec 1 < 6.
29 × 12 = 348 ≤ 352 < 377 = 29 × 13 : le quotient est 12, le reste 352 − 348 = 4.
352 = 29 × 12 + 4, avec 4 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 219 = 12 × 19 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 219 = 12 × 18 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 219 = 12 × 17 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 18, reste 3.
Comme 3 < 18 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 219 par 18 : quotient 12, reste 3.
3. 269 = 30 × 8 + 29
En 8 soirs, elle lit 240 pages ; il lui en reste encore 29.
a) Il lui faut 8 + 1 = 9 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 29 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 155 | non | non | oui | non | non |
| 6 030 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 5 984 | oui | non | non | non | non |
| 597 | non | oui | non | non | non |
| 3 321 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
155 → 1 + 5 + 5 = 11 6 030 → 6 + 0 + 3 + 0 = 9 5 984 → 5 + 9 + 8 + 4 = 26
597 → 5 + 9 + 7 = 21 3 321 → 3 + 3 + 2 + 1 = 9
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 1 + □ = 4 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 315.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 78 est un multiple de 3. » Vrai. 78 = 3 × 26 : le reste de la division de 78 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 − 11 + 15 = 10 + 15 = 25
B = 81 ÷ 9 × 4 = 9 × 4 = 36
C = (5 × 6 − 5) ÷ 5 = (30 − 5) ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5
D = [5 + 8 × (6 − 2)] ÷ 5 = [5 + 8 × 4] ÷ 5 = [5 + 32] ÷ 5 = 37 ÷ 5 = 7,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (8 − 3) − 9 = 2 × 5 − 9 = 10 − 9 = 1
5 + 7 × (7 + 7) = 5 + 7 × 14 = 5 + 98 = 103
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12 × 99 = 12 × (100 − 1) = 12 × 100 − 12 × 1 = 1 200 − 12 = 1 188
F = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 4 × 80 × 25 = 4 × 25 × 80 = 100 × 80 = 8 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 5 × 5 × 5 = 5³ 12 × 12 = 12²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
23 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 23 < 25 = 5²) 36 = 6² : carré
62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²) 125 = 5³ : cube
133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 1 = 5 × 16 − 1 = 80 − 1 = 79
B = (5 × 4)² − 1 = 20² − 1 = 400 − 1 = 399
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 4 : n² + 20 = 4² + 20 = 16 + 20 = 36 et 9n = 9 × 4 = 36.
36 = 36 : l'égalité est vraie pour n = 4.
Pour n = 3 : n² + 20 = 3² + 20 = 9 + 20 = 29 et 9n = 9 × 3 = 27.
29 ≠ 27 : l'égalité est fausse pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 4 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 56 et 92. » → encore 35 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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