Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (22 − 6) × 2 = 16 × 2 = 32
B = 22 − 6 × 2 = 22 − 12 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 × (8 − 7) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 8 et 7.
D = 2 × 4² − 7 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 4 et 7.
E = 8 + 9 × 8 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 9 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 32 = 224 ≤ 230 < 231 = 7 × 33 : le quotient est 32, le reste 230 − 224 = 6.
230 = 7 × 32 + 6, avec 6 < 7.
28 × 14 = 392 ≤ 401 < 420 = 28 × 15 : le quotient est 14, le reste 401 − 392 = 9.
401 = 28 × 14 + 9, avec 9 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 265 = 15 × 17 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 265 = 15 × 16 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 265 = 15 × 18 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 17, reste 10.
Comme 10 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 265 par 17 : quotient 15, reste 10.
3. 137 = 6 × 22 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 22 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 004 | oui | non | non | non | non |
| 2 720 | oui | non | oui | non | oui |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 3 987 | non | oui | non | oui | non |
| 725 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
7 004 → 7 + 0 + 0 + 4 = 11 2 720 → 2 + 7 + 2 + 0 = 11 537 → 5 + 3 + 7 = 15
3 987 → 3 + 9 + 8 + 7 = 27 725 → 7 + 2 + 5 = 14
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 3 + □ = 4 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 135.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 441, somme des chiffres 9.
« 70 est un multiple de 5. » Vrai. 70 = 5 × 14 : le reste de la division de 70 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 59 − 13 + 10 = 46 + 10 = 56
B = 30 ÷ 5 × 4 = 6 × 4 = 24
C = (9 × 6 − 2) ÷ 2 = (54 − 2) ÷ 2 = 52 ÷ 2 = 26
D = 4 × [35 − (3 + 7)] = 4 × [35 − 10] = 4 × 25 = 100
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (6 + 5) + 5 = 5 × 11 + 5 = 55 + 5 = 60
5 × (4 + 2 − 5) = 5 × (6 − 5) = 5 × 1 = 5
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 5 × 21 × 20 = 5 × 20 × 21 = 100 × 21 = 2 100
F = 33 × 99 = 33 × (100 − 1) = 33 × 100 − 33 × 1 = 3 300 − 33 = 3 267
G = 23 × 50 + 23 × 50 = 23 × (50 + 50) = 23 × 100 = 2 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 4 × 4 = 4²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 6² = 12 » Faux. 6² = 6 × 6 = 36. L'exposant ne multiplie pas : 6 × 2 = 12, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
30 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 30 < 36 = 6²) 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²)
100 = 10² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 4 = 3 × 9 − 4 = 27 − 4 = 23
B = (3 × 3)² − 4 = 9² − 4 = 81 − 4 = 77
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 2 = 5 × 5² − 2 = 5 × 25 − 2 = 125 − 2 = 123
B = (5a)² − 2 = (5 × 5)² − 2 = 25² − 2 = 625 − 2 = 623
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
2 × 4 = 8
a) Il faut 8 carreaux le long d'un côté.
8 rangées de 8 carreaux : 8² = 8 × 8 = 64
b) Il faut 64 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 92 et 127. » → encore 34 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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