Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3 + 4 × 3 = 3 + 12 = 15
B = (3 + 4) × 3 = 7 × 3 = 21
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 3² − 14 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 3 et 14.
D = (6 + 4) × 5 est un produit : c'est le produit de la somme de 6 et 4 par 5.
E = 4 + 6 × 5 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 6 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 93 = 837 ≤ 842 < 846 = 9 × 94 : le quotient est 93, le reste 842 − 837 = 5.
842 = 9 × 93 + 5, avec 5 < 9.
27 × 42 = 1 134 ≤ 1 150 < 1 161 = 27 × 43 : le quotient est 42, le reste 1 150 − 1 134 = 16.
1 150 = 27 × 42 + 16, avec 16 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 102 = 7 × 13 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 102 = 7 × 14 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 102 = 7 × 15 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 14, reste 4.
Comme 4 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 102 par 14 : quotient 7, reste 4.
3. 400 = 7 × 57 + 1
a) 400 jours font 57 semaines complètes et 1 jour.
Après 57 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 1 jour : dimanche → lundi.
b) Dans 400 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 321 | non | oui | non | non | non |
| 5 463 | non | oui | non | oui | non |
| 7 900 | oui | non | oui | non | oui |
| 1 444 | oui | non | non | non | non |
| 545 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
321 → 3 + 2 + 1 = 6 5 463 → 5 + 4 + 6 + 3 = 18 7 900 → 7 + 9 + 0 + 0 = 16
1 444 → 1 + 4 + 4 + 4 = 13 545 → 5 + 4 + 5 = 14
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 2 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 822, 828.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 495, somme des chiffres 18.
« 7 est un diviseur de 137. » Faux. 137 = 7 × 19 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 26 + 4 × 3 = 26 + 12 = 38
B = 5 × 3 − 4 × 3 = 15 − 12 = 3
C = 86 − 2 × (17 − 3) = 86 − 2 × 14 = 86 − 28 = 58
D = [6 + 7 × (6 − 1)] ÷ 5 = [6 + 7 × 5] ÷ 5 = [6 + 35] ÷ 5 = 41 ÷ 5 = 8,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + (6 + 3) × 8 = 7 + 9 × 8 = 7 + 72 = 79
(2 + 4 + 6) × 2 = (6 + 6) × 2 = 12 × 2 = 24
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 14 × 125 = 8 × 125 × 14 = 1 000 × 14 = 14 000
F = 30 × 11 = 30 × (10 + 1) = 30 × 10 + 30 × 1 = 300 + 30 = 330
G = 3,6 × 0,8 + 3,6 × 0,2 = 3,6 × (0,8 + 0,2) = 3,6 × 1 = 3,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 2,5 × 2,5 = 2,5² 5 × 5 × 5 = 5³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
35 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 35 < 36 = 6²) 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
139 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 139 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 9 = 4 × 9 − 9 = 36 − 9 = 27
B = (4 × 3)² − 9 = 12² − 9 = 144 − 9 = 135
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 3 = 1² + 3 = 1 + 3 = 4 et 4n = 4 × 1 = 4.
4 = 4 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Pour n = 2 : n² + 3 = 2² + 3 = 4 + 3 = 7 et 4n = 4 × 2 = 8.
7 ≠ 8 : l'égalité est fausse pour n = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 3, et seulement pour 1 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
2 × 4 = 8
a) Il faut 8 carreaux le long d'un côté.
8 rangées de 8 carreaux : 8² = 8 × 8 = 64
b) Il faut 64 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 15 et 47. » → encore 31 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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