Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 9) × 9 = 15 × 9 = 135
B = 6 + 9 × 9 = 6 + 81 = 87
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (25 + 17) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 25 et 17 par 7.
D = 14 + 9 × 3 est une somme : c'est la somme de 14 et du produit de 9 par 3.
E = 5² − 2 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 75 = 450 ≤ 454 < 456 = 6 × 76 : le quotient est 75, le reste 454 − 450 = 4.
454 = 6 × 75 + 4, avec 4 < 6.
20 × 42 = 840 ≤ 850 < 860 = 20 × 43 : le quotient est 42, le reste 850 − 840 = 10.
850 = 20 × 42 + 10, avec 10 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 148 = 6 × 25 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 148 = 6 × 23 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 148 = 6 × 24 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 24, reste 4.
Comme 4 < 24 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 148 par 24 : quotient 6, reste 4.
3. 50 = 9 × 5 + 5
5 minibus pleins transportent 45 élèves ; il en reste 5 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 5 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 357 | non | oui | non | non | non |
| 6 676 | oui | non | non | non | non |
| 245 | non | non | oui | non | non |
| 8 650 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 221 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
357 → 3 + 5 + 7 = 15 6 676 → 6 + 6 + 7 + 6 = 25 245 → 2 + 4 + 5 = 11
8 650 → 8 + 6 + 5 + 0 = 19 4 221 → 4 + 2 + 2 + 1 = 9
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 0 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 900, 930, 960, 990.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 531, somme des chiffres 9.
« 162 est un multiple de 9. » Vrai. 162 = 9 × 18 : le reste de la division de 162 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 78 − 6 × 8 = 78 − 48 = 30
B = 5 × 5 − 3 × 2 = 25 − 6 = 19
C = 84 − 5 × (10 − 4) = 84 − 5 × 6 = 84 − 30 = 54
D = 8,7 + 4 × 1,5 = 8,7 + 6 = 14,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 9 − 2) × 7 = (15 − 2) × 7 = 13 × 7 = 91
(4 + 9) × 2 + 4 = 13 × 2 + 4 = 26 + 4 = 30
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 33 × 50 = 2 × 50 × 33 = 100 × 33 = 3 300
F = 31 × 11 = 31 × (10 + 1) = 31 × 10 + 31 × 1 = 310 + 31 = 341
G = 47 × 80 + 47 × 20 = 47 × (80 + 20) = 47 × 100 = 4 700
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 2 × 2 × 2 = 2³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
35 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 35 < 36 = 6²) 36 = 6² : carré
71 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 71 < 81 = 9²) 94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 3 = 4 × 9 − 3 = 36 − 3 = 33
B = (4 × 3)² − 3 = 12² − 3 = 144 − 3 = 141
C = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
D = (6 + 7)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 5 : n² + 20 = 5² + 20 = 25 + 20 = 45 et 9n = 9 × 5 = 45.
45 = 45 : l'égalité est vraie pour n = 5.
Pour n = 6 : n² + 20 = 6² + 20 = 36 + 20 = 56 et 9n = 9 × 6 = 54.
56 ≠ 54 : l'égalité est fausse pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 5 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 56 et 101. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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